Giải bài 3.25 trang 42 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Với điểm M nằm giữa C và D, kẻ tia phân giác của góc DAM; nó cắt CD ở N. Đường thẳng qua N vuông góc với AM cắt BC ở P. Tính số đo của góc NAP.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat {ADN} = \widehat {ABP} = {90^0}$ và $AB = AD$

Gọi Q là giao điểm của NP và AM.

Vì $NP \bot AM$ tại Q nên $\widehat {AQN} = \widehat {AQP} = {90^0}$

Tam giác AND và tam giác ANQ có:

$\widehat {ADN} = \widehat {AQN} = {90^0}$, AN chung, $\widehat {DAN} = \widehat {QAN}$ (do AN là tia phân giác của góc DAM)

Do đó, $\Delta ADN = \Delta AQN\left( {ch - gn} \right)$ nên $AD = AQ$

Mà $AB = AD$ (cmt) nên $AQ = AB$

Tam giác AQP và tam giác ABP có:

$\widehat {AQP} = \widehat {ABP} = {90^0}$, AP chung, $AQ = AB$ (cmt)

Do đó, $\Delta AQP = \Delta ABP\left( {ch - cgv} \right)$, suy ra: $\widehat {QAP} = \widehat {PAB}$

Ta có: $\widehat {QAP} + \widehat {PAB} + \widehat {DAN} + \widehat {QAN} = {90^0}$

Nên $2\left( {\widehat {QAP} + \widehat {QAN}} \right) = {90^0}$, tức là $\widehat {NAP} = {45^0}$