Giải bài 39 trang 75 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Trong Hình 37, cho $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác $ABCD$. Kẻ một đường thẳng tùy ý đi qua $O$ và cắt cạnh $AB$ tại $M,CD$ tại $N$. Đường thẳng qua $M$ song song với $CD$ cắt $AC$ tại $E$ và đường thẳng qua $N$ song song với $AB$ cắt $BD$ tại $F$. Chứng minh:

a)      $\Delta OBE\backsim \Delta OFC$;

b)     $BE//CF$

Lời giải chi tiết

a)      Do $MB//NF$ nên theo định lí Thales ta có $\frac{{OB}}{{OF}} = \frac{{OM}}{{ON}}$ (1)

Tương tự $NC//ME =  > \frac{{OE}}{{OC}} = \frac{{OM}}{{ON}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{{OB}}{{OF}} = \frac{{OE}}{{OC}}$.

Mà $\widehat {BOE} = \widehat {FOC}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra $\Delta OBE\backsim \Delta OFC$ (c.g.c)

b)     Theo câu a, ta có $\Delta OBE\backsim \Delta OFC$ nên $\widehat {EBO} = \widehat {CFO}$.

Mà hai góc $\widehat {EBO}$ và $\widehat {CFO}$ ở vị trí so le trong $=  > BE//CF$.