Giải bài 4 trang 72 SGK Toán 8 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$). Tia phân giác của góc $B$ cắt $AC$ tại $D$. Trên $BC$ lấy điểm$E$ sao cho $BE = BA$.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABD = \Delta EBD$

b) Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tứ giác $ADEH$ là hình thang vuông.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $AH$ với $BD$, đường thẳng $EI$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh rằng tứ giác $ACEF$ là hình thang vuông.

Lời giải chi tiết

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ ta có:

$BA = BE$ (gt)

$\widehat {{\rm{ABD}}} = \widehat {{\rm{ EBD}}}$ (do $BD$ là phân giác)

$BD$ chung

Suy ra $\Delta ABD = \Delta EBD$ (c-g-c)

b) Vì $\Delta ABD = \Delta EBD$ (cmt)

Suy ra $\widehat {{\rm{BAD}}} = \widehat {{\rm{BED}}} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng)

Suy ra $DE \bot BC$

Mà $AH \bot BC$ (gt)

Suy ra $AH$ // $DE$

Suy ra $ADEH$ là hình thang

Mà $\widehat {{\rm{DEB}}} = 90$ (cmt)

Suy ra $ADEH$ là hình thang vuông

c) 

Gọi $K$ là giao điểm của $AE$ và $BD$

Suy ra $BK$ là phân giác của $\widehat {{\rm{ABC}}}$

Mà $\Delta ABE$ cân tại $B$ (do $BA = BE$ )

Suy ra $BK$ cũng là đường cao

Xét $\Delta ABE$ có hai đường cao $BK$ và $AH$ cắt nhau tại $I$

Suy ra $I$ là trực tâm của $\Delta ABE$

Suy ra $EF \bot AB$

Mà $AC \bot AB$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$)

Suy ra $AC$ // $EF$

Suy ra $ACEF$ là hình thang

Mà $\widehat {{\rm{CAE}}} = 90^\circ$(gt)

Suy ra $ACEF$ là hình thang vuông