Giải bài 41 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thoi, $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$, $\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$. Chứng minh rằng $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$.

Lời giải chi tiết

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Ta dễ dàng chứng minh được $SO$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$.

Vì $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$, $\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$, $SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$, ta suy ra $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Điều này dẫn tới $SO \bot AO$.

Do $ABCD$ là hình thoi, nên ta có $AC \bot BD$, hay $AO \bot BD$.

Như vậy ta có $SO \bot AO$, $AO \bot BD$ nên $AO \bot \left( {SBD} \right)$.

Mà $AO \subset \left( {SAC} \right)$ nên ta suy ra $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$.

Bài toán được chứng minh.