Giải bài 4.17 trang 65 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ \(\overrightarrow a  = 3.\overrightarrow i  - 2.\overrightarrow j \), \(\overrightarrow b  = \left( {4; - 1} \right)\) và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(2\overrightarrow a  - \overrightarrow b \).

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow a = 3.\overrightarrow i - 2.\overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow a\left( {3; - 2} \right)\).

\( \Rightarrow 2\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {2.3 - 4;2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {2; - 3} \right)\).

\(\overrightarrow {MN}  = \left( {3 - \left( { - 3} \right); - 3 - 6} \right) = \left( {6; - 9} \right)\).

Dễ thấy:\(\left( {6; - 9} \right) = 3.\left( {2; - 3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = 3\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b} \right)\).

b) Ta có: \(M( - 3;6) \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( { - 3;6} \right)\) và \(N(3; - 3) \Rightarrow \overrightarrow {ON}  = \left( {3; - 3} \right)\).

Hai vectơ này không cùng phương (vì \(\frac{{ - 3}}{3} \ne \frac{6}{{ - 3}}\)) nên các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {PN} \).

Do \(\overrightarrow {OM}  = \left( { - 3;6} \right),\overrightarrow {PN}  = \left( {3 - x; - 3 - y} \right)\)  nên

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {PN}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 = 3 - x}\\{6 =  - 3 - y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6}\\{y =  - 9}\end{array}} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).