Giải bài 42 trang 121 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

Hai ròng rọc có dạng hình tròn (O; 4a) và (O’; a) với hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A sao cho $\widehat {MAP} = 60^\circ$ (Hình 46). Tìm độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc theo a.

Lời giải chi tiết

Do AM, AP là tiếp tuyến của (O) nên $MA = PA$ và $OM \bot MA,OP \bot PA$, do đó $\widehat M = \widehat P = 90^\circ$ và AO là tia phân giác của góc MAP nên $\widehat {MAO} = \widehat {PAO} = \frac{{\widehat {MAP}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$

Do AN, AQ là tiếp tuyến của (O’) nên $NA = QA$ và $O'N \bot NA,O'Q \bot QA$, do đó $\widehat {O'NA} = \widehat {O'QA} = 90^\circ$ và AO’ là tia phân giác của góc NAQ nên $\widehat {NAO'} = \widehat {QAO'} = \frac{{\widehat {NAQ}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$

Xét tứ giác OMAP có $\widehat {MOP} + \widehat M + \widehat {MAP} + \widehat P = 360^\circ$ nên $\widehat {MOP} = 360^\circ  - \left( {\widehat M + \widehat {MAP} + \widehat P} \right)$$= 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 60^\circ  + 90^\circ } \right) = 120^\circ$, suy ra số đo cung nhỏ MP là 120⁰

Số đo cung lớn MP là $360^\circ  - 120^\circ  = 240^\circ$ và có độ dài là ${l_1} = \frac{{\pi .4a.240}}{{180}} = \frac{{16\pi a}}{3}$

Xét tứ giác O’NAQ có $\widehat {NO'Q} + \widehat {O'NA} + \widehat {O'QA} + \widehat {NAQ} = 360^\circ$ nên $\widehat {NO'Q} = 360^\circ  - \left( {\widehat {O'NA} + \widehat {O'QA} + \widehat {NAQ}} \right)$ $= 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 90^\circ  + 60^\circ } \right) = 120^\circ$, suy ra số đo cung nhỏ NQ là 120⁰ và có độ dài là ${l_2} = \frac{{\pi .a.120}}{{180}} = \frac{{2\pi a}}{3}$

Ta có: $MN = MA - NA;PQ = PA - QA$, mà $MA = PA;NA = QA$ suy ra $MN = PQ$.

Xét tam giác OAM vuông tại M có:

$MA = OM.\cot \widehat {OAM} = a.\cot 30^\circ  = 4a\sqrt 3$.

Xét tam giác O’AN vuông tại N có:

$NA = ON.\cot O'AN = a.\cot 30^\circ  = a\sqrt 3$.

Ta có: $MN = PQ = MA - NA = 4a\sqrt 3  - a\sqrt 3  = 3\sqrt 3 a$

Độ dài dây Curoa mắc qua 2 ròng rọc là:

$\frac{{16\pi a}}{3} + \frac{{2\pi a}}{3} + 3\sqrt 3 a + 3\sqrt 3 a = 6a\left( {\pi  + \sqrt 3 } \right)$.