Giải bài 4.45 trang 69 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho ABC là tam giác cân tại đỉnh A. Chứng minh rằng:

a) Hai đường trung tuyến BM, CN bằng nhau (H.4.50a).

b) Hai đường phân giác BE, CF bằng nhau (H.4.50b) 

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AM = \dfrac{{AC}}{2}; AN=\dfrac{{AB}}{2}\).

Mà tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Suy ra \(AM=AN\)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có:

AB = AC

AM = AN

\(\widehat A\) chung

Vậy \(\Delta ABM = \Delta ACN\left( {c - g - c} \right)\)

Do đó BM = CN

b) Ta có: \(\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\) (do BE là tia phân giác của góc ABC)

\(\widehat {ACF}= \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}\) (do CF là tia phân giác của góc ACB)

Mà tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC}=\widehat {ACB}\)

Do đó, \(\widehat {ABE} = \widehat {ACF}\)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:

\(\widehat A\) chung

AB = AC

\(\widehat {ABE} = \widehat {ACF}\)

Vậy \(\Delta ABE = \Delta ACF\left( {g - c - g} \right)\)

Do đó \( BE = CF.\) (2 cạnh tương ứng)