Giải bài 4.47 trang 70 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABH vuông tại đỉnh H có $\widehat {ABH} = {60^0}$. Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HB = HC (H.4.52). Chứng minh rằng $\Delta ABC$ là tam giác đều và $BH = \dfrac{{AB}}{2}$

Lời giải chi tiết

Xét $\Delta HAB$ và $\Delta HAC$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\\HB = HC\\HA:Chung\\ \Rightarrow \Delta HAB = \Delta HAC\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow AB = AC$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại A 

$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}$

Mặt khác, theo định lí tổng 3 góc trong một tam giác, ta có: $\widehat A = {180^0} - \widehat B - \widehat C = {180^0} - 2\widehat B = 180^0-2.60^0={60^0}$

Ta được:$\widehat{A}=\widehat{B} (=60^0)$

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại đỉnh C nên CA = CB

$\Rightarrow AB = BC = CA$

$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều

$\Rightarrow BH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{AB}}{2}$