Giải bài 4.8 trang 54 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} .$

Lời giải chi tiết

$\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = a.$

Dựng hình bình hành ABDC tâm O như hình vẽ.

Ta có:

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD$

Vì tứ giác ABDC là hình bình hành, lại có $AB = AC = BD = CD = a$ nên ABDC là hình thoi.

$\Rightarrow AD = 2AO = 2.AB.\sin B = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .$

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right| = a$ và $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3$.