Giải bài 4.9 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho $F\left( u \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( u \right)$ trên khoảng $K$ và $u\left( x \right),{\rm{ x}} \in {\rm{J}}$, là hàm số có đạo hàm liên tục, $u\left( x \right) \in K$ với mọi ${\rm{x}} \in {\rm{J}}$. Tìm $\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)}  \cdot u'\left( x \right)dx$.

Áp dụng: Tìm $\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx}$ và $\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx}$.

Lời giải chi tiết

Do $F' = f$ nên ta có đạo hàm hàm hợp của $F\left( {u\left( x \right)} \right)$ là

$\Leftrightarrow F'\left( {u\left( x \right)} \right) = f\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right){\rm{   }}\left( 1 \right)$

Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (1), ta được $F\left( {u\left( x \right)} \right) + C = \int {f\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot } u'\left( x \right)dx$.

Suy ra $\int {f\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot } u'\left( x \right)dx = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C$.

Ta áp dụng để tìm các nguyên hàm sau:

$\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx}  = \int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5} \cdot {{\left( {2x + 1} \right)}^\prime } \cdot \frac{1}{2}dx}  = \frac{1}{2}\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5} \cdot {{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }dx}$

                   $= \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^6}}}{6} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^6}}}{{12}} + C$;

$\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx}  = \int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }} \cdot {{\left( {2x + 1} \right)}^\prime } \cdot \frac{1}{2}dx}  = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt {2x + 1}  + C = \sqrt {2x + 1}  + C$.