Giải bài 5 trang 59 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Biết rằng hàm số $y = 2{x^2}{\rm{ +  }}mx + n$ giảm trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right),$tăng trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ và có tập giá trị là $[9; + \infty )$. Xác định giá trị của m và n.

Lời giải chi tiết

Đỉnh S có tọa độ: ${x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - m}}{{2.2}} =  - \frac{m}{4};{y_S} = f( - \frac{m}{4})$

Vì hàm số bậc hai có $a = 2 > 0$ nên ta có bảng biến thiên sau:

 

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $f( - \frac{m}{4}).$

Hàm số giảm trên $( - \infty ; - \frac{m}{4})$ và tăng trên $( - \frac{m}{4}; + \infty )$

Theo giả thiết, ta có:

Hàm số giảm trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$$\Rightarrow \left( { - \infty ;1} \right) \subset ( - \infty ; - \frac{m}{4}) \Leftrightarrow 1 \le  - \frac{m}{4}.$

Tương tự hàm số tăng trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$$\Rightarrow \left( {1; + \infty } \right) \subset ( - \frac{m}{4}; + \infty ) \Leftrightarrow  - \frac{m}{4} \le 1.$

Do đó: $- \frac{m}{4} = 1$ hay $m =  - 4$

Lại có: Tập giá trị là $[9; + \infty )$$\Rightarrow$Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 9.

$\Leftrightarrow f(1) = f( - \frac{m}{4}) = 9 \Leftrightarrow {2.1^2} + ( - 4).1 + n = 9 \Leftrightarrow n = 11.$

Vậy $m =  - 4,n = 11.$