Giải bài 50 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}}.$

a) Với $a,{\rm{ }}b$ là hai số thực thỏa mãn $a + b = 1.$ Tính $f\left( a \right) + f\left( b \right).$

b) Tính tổng: $S = f\left( {\frac{1}{{2023}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2023}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2022}}{{2023}}} \right).$

Lời giải chi tiết

a) Ta có :$f\left( b \right) = f\left( {1 - a} \right) = \frac{{{9^{1 - a}}}}{{{9^{1 - a}} + 3}} = \frac{{\frac{9}{{{9^a}}}}}{{\frac{9}{{{9^a}}} + 3}} = \frac{9}{{9 + {9^x}.3}} = \frac{3}{{{9^x} + 3}}.$ $\Rightarrow f\left( a \right) + f\left( b \right) = \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}} + \frac{3}{{{9^x} + 3}} = 1.$

b) Áp dụng câu a)

$\begin{array}{l}S = f\left( {\frac{1}{{2023}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2023}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2022}}{{2023}}} \right) = f\left( {\frac{1}{{2023}}} \right) + f\left( {\frac{{2022}}{{2023}}} \right)\\ + f\left( {\frac{2}{{2023}}} \right) + f\left( {\frac{{2021}}{{2023}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{1011}}{{2023}}} \right) + f\left( {\frac{{1012}}{{2023}}} \right) = 1 + 1 + ... + 1 = 1011.\end{array}$