Giải bài 5.32 trang 72 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A; b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A;

b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh ^DAH=2^BAH, ^HAE=2^HAC, ^BAH+^HAC=90o suy ra ^DAH+^HAE=180o

Do đó, ba điểm D, A, E thẳng hàng.

+ Vì D, E thuộc (A; AH) nên AE=AD. Do đó, D và E đối xứng với nhau qua A.

b) + Gọi O là trung điểm của BC.

+ Chứng minh A thuộc đường tròn tâm O, đường kính BC.

+ Chứng minh  ^HBA=^HAC, ^HAC=^CAE nên ^HBA=^CAE.

+ Chứng minh ^C1=^A1.

+ Chứng minh ^B1+^C1=90o, suy ra ^A2+^A1=90o hay ^OAE=90o, suy ra DEOA tại A, suy ra, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A.

Lời giải chi tiết

a) Vì BCAH tại H nên BC là tiếp tuyến của (A), mà BD là tiếp tuyến của (A) nên AB là phân giác của góc DAH, suy ra ^DAH=2^BAH=2^DAB.

Chứng minh tương tự ta có: ^HAE=2^HAC=2^CAE.

Tam giác ABC vuông tại A nên ^BAH+^HAC=90o.

Ta có: ^DAH+^HAE=2^BAH+2^HAC=2(^BAH+^HAC)=2.90o=180o

Do đó, ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Vì D, E thuộc (A; AH) nên AE=AD. Do đó, D và E đối xứng với nhau qua A.

b) Gọi O là trung điểm của BC.

Tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến nên AO=OB=OC. Do đó, A thuộc đường tròn tâm O, đường kính BC.

Ta có:

^HBA+^C1=^C1+^HAC(=90o) nên ^HBA=^HAC.

^HAC=^CAE nên ^HBA=^CAE

AO=OC nên tam giác AOC cân tại O, suy ra ^C1=^A1

Tam giác ABC vuông tại A nên ^B1+^C1=90o, suy ra ^A2+^A1=90o hay ^OAE=90o.

Do đó, DEOA tại A.

Do đó, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A.

  • Giải bài 5.33 trang 72 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

    Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a//b. Gọi C là một điểm tùy ý thuộc (O), khác A và B. Tiếp tuyến c của (O) tại C cắt a và b lần lượt tại M và N. a) Chứng minh AB là một đường kính của (O). b) Gọi D, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với C, M và N qua tâm O. Chứng minh rằng (D in left( O right),P in b) và (Q in a). c) Chứng minh rằng PQ tiếp xúc với (O) tại D. d) Chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi.

  • Giải bài 5.34 trang 72 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

    Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm (B in left( O right)) và (C in left( {O'} right)) sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và OB//O’C. a) Chứng minh góc BAC là góc vuông. b) Cho biết (R = 3cm), (R' = 1cm) và BC cắt OO’ tại D. Tính độ dài đoạn OD.

  • Giải bài 5.35 trang 72 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

    Cho đường tròn tâm O, đường kính MN. Một đường tròn (N) cắt (O) tại A và B. a) Chứng minh rằng MA và MB là hai tiếp tuyến của (N). b) Đường thẳng qua N và vuông góc với NA cắt MB tại C. Chứng minh hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC. c) Đường thẳng qua M và vuông góc với MA cắt NB tại D. Chứng minh ba điểm O, C và D thẳng hàng.

  • Giải bài 5.31 trang 71 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

    Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng (PO bot AB). b) Gọi C là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng BC//PO. c) Tính độ dài các cạnh của tam giác PAB, biết OA=3cm và OP=5cm.

  • Giải bài 5.30 trang 71 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

    Cho tam giác vuông ABC ((widehat A = {90^o})) có (widehat C = {30^o}) và AB=3cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D. a) Chứng minh rằng đường tròn (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC. b) Tính độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung ấy. c) Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC).

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

close