Giải bài 5.5 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm $H\left( {3;2;4} \right)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa điểm H và trục Oy.

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (với A, B, C đều không trùng với gốc tọa độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Ta lấy $O\left( {0;0;0} \right) \in Oy$ suy ra $O \in \left( P \right)$.

Ta có $\overrightarrow {OH}  = \left( {3;2;4} \right)$.

Do $\left( P \right)$ chứa O, H và Oy suy ra $\left( P \right)$ nhận $\left[ {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow j } \right]$ làm vectơ pháp tuyến, vì $\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)$ là vectơ chỉ phương của Oy. Ta có $\left[ {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 4;0;3} \right)$.

Phương trình mặt phẳng của $\left( P \right)$ là $- 4\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4x + 3z = 0$.

b) Giả sử $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ trên cạnh $BC$ và $AC$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AD \bot BC\\BE \bot AC\\AD \cap BE = H\end{array} \right.$.

Do $Ox \bot \left( {yOz} \right)$ nên $AO \bot \left( {OBC} \right)$. Khi đó có $OD$ là hình chiếu của $AD$ trên $\left( {OBC} \right)$,

mà $AD \bot BC$ suy ra $OD \bot BC$(định lý ba đường vuông góc).

Vì vậy $BC \bot \left( {OAD} \right)$. Mặt khác $OH \subset \left( {OAD} \right)$ nên $BC \bot OH{\rm{    }}\left( 1 \right)$.

Chứng minh tương tự ta có $OE$ là hình chiếu của $BE$ trên $\left( {OAC} \right)$ suy ra $AC \bot OH{\rm{    }}\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $OH \bot \left( {ABC} \right)$ hay H là hình chiếu của O trên (ABC).

$\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {OH}  = \left( {3;2;4} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 4\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y + 4z - 29 = 0$.