Giải bài 7.3 trang 26 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$, gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BD$. Biết $MN = a\sqrt 3 ;AB = 2\sqrt 2 a$ và $CD = 2a$. Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ vuông góc với đường thẳng $CD$.

Lời giải chi tiết

Lấy $K$ là trung điểm của cạnh $BC$, ta có: $NK$ và $MK$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $BCD$ và tam giác $ABC$ nên $NK = a,MK = a\sqrt 2$.

Do đó, $M{N^2} = 3{a^2} = N{K^2} + M{K^2}$ suy ra tam giác $MNK$ vuông tại $K$, hay $MK \bot NK$, mà $MK//AB$ và $NK//CD$ nên $\left( {AB,CD} \right) = \left( {MK,NK} \right) = {90^ \circ }$, hay $AB \bot CD$.