Giải bài 7.45 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng$a$, côsin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$bằng

A. $\frac{2}{3}$.

B. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

C. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

D. $\frac{1}{3}$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD$.

Gọi $M$ là trung điểm $CD$.

Khi đó dễ dàng chứng minh được $BM \bot CD$ và $AM \bot CD$.

$\Rightarrow \left( {\left( {ACD} \right),\left( {BCD} \right)} \right) = \left( {AM,BM} \right)$.

Ta dễ tính được: $AM = BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Áp dụng hệ quả của định lý cô sin trong tam giác $ABM$ ta có:

$\cos \widehat {AMB} = \frac{{A{M^2} + B{M^2} - A{B^2}}}{{2.AM.BM}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} - {a^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{3{a^2}}}{2}}} = \frac{1}{3}$.