Giải bài 9 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:

a) ${n^5} - n$ chia hết cho 5 $\forall n \in \mathbb{N}*$

b) ${n^7} - n$ chia hết cho 7 $\forall n \in \mathbb{N}*$

Lời giải chi tiết

a) ${n^5} - n$ chia hết cho 5 $\forall n \in \mathbb{N}*$

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n = 1$

+ $VT = {1^5} - 1 = 0 \vdots 5$

=> Mệnh đề đúng với $n = 1$

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \ge 1$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1.$ Kết luận.

+ Giả sử mệnh đề đúng với $n = k \ge 1$, tức là: ${k^5} - k \vdots 5$

+ Chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1$, tức là ${\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right) \vdots 5$

Thật vậy, xét:

 $\begin{array}{l}{\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right) = \left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^4} - 1} \right] = \left( {k + 1} \right)\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^2} + 1} \right)\left( {k + 1 - 1} \right)\left( {k + 1 + 1} \right)\\ = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 4 + 5} \right) = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {\left( {k + 1 - 2} \right)\left( {k + 1 + 2} \right) + 5} \right]\\ = \left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) + 5k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\end{array}$

+ Ta thấy $\left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)$là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp à $\left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)$ chia hết cho 5

+  $5k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)$ chia hết cho 5

$\Rightarrow {\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right) \vdots 5$ Suy ra điều phải chứng minh

b) ${n^7} - n$ chia hết cho 7 $\forall n \in \mathbb{N}*$

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n = 1$

+ $VT = {1^7} - 1 = 0 \vdots 7$

=> Mệnh đề đúng với $n = 1$

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \ge 1$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1.$ Kết luận.

+ Giả sử mệnh đề đúng với $n = k \ge 1$, tức là: ${k^7} - k \vdots 7$

+ Chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1$, tức là ${\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7$

Thật vậy, xét:

$\begin{array}{l}{\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) = {k^7} + C_7^1{k^6} + C_7^2{k^5} + C_7^3{k^4} + C_7^4{k^3} + C_7^5{k^2} + C_7^6k - k\\ = \left( {{k^7} - k} \right) + \left( {C_7^1{k^6} + C_7^2{k^5} + C_7^3{k^4} + C_7^4{k^3} + C_7^5{k^2} + C_7^6k} \right)\end{array}$

+ Ta có ${k^7} - k \vdots 7$

+  $\left( {C_7^1{k^6} + C_7^2{k^5} + C_7^3{k^4} + C_7^4{k^3} + C_7^5{k^2} + C_7^6k} \right)$ chia hết cho 7 vì $C_7^k$ với k chạy từ 1 đến 6 là bội của 7 nên luôn chia hết cho 7

$\Rightarrow {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7$ Suy ra điều phải chứng minh