Giải bài tập 1 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

 

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = {x^3} + x - 2$

b) $y = 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3$

Lời giải chi tiết

a) $y = {x^3} + x - 2$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

• Chiều biến thiên:

$y' = 3{x^2} + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

• Cực trị:

Hàm số không có cực trị

• Các giới hạn tại vô cực:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ({x^3} + x - 2) =  - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({x^3} + x - 2) =  + \infty$

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -2 nên (0; -2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow {x^3} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)

b) $y = 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

• Chiều biến thiên:

$y' = 6{x^2} + 2x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2}\\x = \frac{1}{6}\end{array} \right.$

Trên các khoảng ($- \infty$; $- \frac{1}{2}$), ($\frac{1}{6}$; $+ \infty$) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng ($- \frac{1}{2}$; $\frac{1}{6}$) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = $- \frac{1}{2}$ và ${y_{cd}} =  - \frac{{11}}{4}$

Hàm số đạt cực tiểu tại x = $\frac{1}{6}$ và ${y_{ct}} =  - \frac{{329}}{{108}}$

• Các giới hạn tại vô cực:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3) =  - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3) =  + \infty$

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1,06$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1,06; 0)