Giải bài tập 14 trang 29 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính đạo hàm của $F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)$. Từ đó suy ra nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.

Lời giải chi tiết

Ta có $F'\left( x \right) = \left[ {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]' = \frac{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)'}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}$

$= \frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = f\left( x \right)$

Như vậy $F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.

Do đó $\int {f\left( x \right)dx}  = F\left( x \right) + C \Rightarrow \int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx}  = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + C$