Giải bài tập 4.18 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Ở ${45^\circ }C$, phản ứng hóa học phân hủy ${N_2}{O_5}$ xảy ra theo phương trình:

${N_2}{O_5} \to 2N{O_2} + \frac{1}{2}{O_2}$

với nồng độ $c(t)$ (mol/L) của ${N_2}{O_5}$ $(c(t) > 0)$ tại thời điểm $t$ giây (t $\ge 0$) thỏa mãn $c'(t) =  - 0,0005c(t)$. Biết khi $t = 0$, nồng độ ban đầu của ${N_2}{O_5}$ là 0,05 mol/L.

a) Xét hàm số $y(t) = \ln c(t)$ với $t \ge 0$. Tính $y'(t)$, từ đó tìm $y(t)$.

b) Biết rằng nồng độ trung bình của ${N_2}{O_5}$ (mol/L) từ thời điểm $a$ giây đến thời điểm $b$ giây ($a < b$) được cho bởi công thức:

$\frac{1}{{b - a}}\int_a^b c (t){\mkern 1mu} dt$

Tính nồng độ trung bình của ${N_2}{O_5}$ từ thời điểm 10 giây đến thời điểm 20 giây.

Lời giải chi tiết

a)

- Ta có:

$y(t) = \ln c(t)$

Lấy đạo hàm của $y(t)$:

$y'(t) = \frac{d}{{dt}}[\ln c(t)] = \frac{{c'(t)}}{{c(t)}}$

- Theo đề bài, $c'(t) =  - 0,0005c(t)$, do đó:

$y'(t) = \frac{{ - 0,0005c(t)}}{{c(t)}} =  - 0,0005$

- Tính $y(t)$ bằng cách tích phân $y'(t)$:

$y(t) = \int {y'} (t){\mkern 1mu} dt = \int  -  0,0005{\mkern 1mu} dt =  - 0,0005t + C$

- Khi $t = 0$, ta có $c(0) = 0,05{\mkern 1mu} {\rm{mol/L}}$, do đó:

$y(0) = \ln c(0) = \ln 0,05$

Vậy, $C = \ln 0,05$.

- Kết luận:

$y(t) =  - 0,0005t + \ln 0,05$

b)

- Nồng độ trung bình của ${N_2}{O_5}$ từ thời điểm 10 giây đến thời điểm 20 giây là:

$\frac{1}{{b - a}}\int_a^b c (t){\mkern 1mu} dt = \frac{1}{{20 - 10}}\int_{10}^{20} c (t){\mkern 1mu} dt = \frac{1}{{10}}\int_{10}^{20} c (t){\mkern 1mu} dt$

- Từ câu a, ta biết $c(t) = {e^{y(t)}} = {e^{ - 0,0005t + \ln 0,05}} = 0,05{e^{ - 0,0005t}}$.

- Tính tích phân:

$\int_{10}^{20} 0 ,05{e^{ - 0,0005t}}{\mkern 1mu} dt = 0,05\int_{10}^{20} {{e^{ - 0,0005t}}} {\mkern 1mu} dt$

- Tích phân của ${e^{ - 0,0005t}}$ là:

$\int {{e^{ - 0,0005t}}} {\mkern 1mu} dt = \frac{{{e^{ - 0,0005t}}}}{{ - 0,0005}} =  - 2000{e^{ - 0,0005t}}$

- Do đó:

$0,05\int_{10}^{20} {{e^{ - 0,0005t}}} {\mkern 1mu} dt = 0,05\left( { - 2000{e^{ - 0,0005t}}|_{10}^{20}} \right)$

$=  - 100\left( {{e^{ - 0,0005 \times 20}} - {e^{ - 0,0005 \times 10}}} \right)$

$=  - 100\left( {{e^{ - 0,01}} - {e^{ - 0,005}}} \right)$

- Sử dụng giá trị gần đúng:

${e^{ - 0,01}} \approx 0,99005,\quad {e^{ - 0,005}} \approx 0,99501$

- Khi đó:

$- 100\left( {0,99005 - 0,99501} \right) =  - 100 \times ( - 0,00496) = 0,496$

- Nồng độ trung bình là:

$\frac{1}{{10}} \times 0,496 = 0,0496{\mkern 1mu} {\rm{mol/L}}$