Giải bài tập 4.30 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trọng lực của Trái Đất tác dụng lên một vệ tinh trong quá trình vệ tinh này được phóng lên từ mặt đất tới vị trí cách tâm Trái Đất $r$ (m) xác định bởi công thức: $F(r) = \frac{{GMm}}{{{r^2}}}$, trong đó: $M = {6.10^{24}}{\mkern 1mu} {\rm{kg}}$ là khối lượng Trái Đất, $m$ (kg) là khối lượng vệ tinh và $G = 6.67 \times {10^{ - 11}}{\mkern 1mu} {\rm{N}}{{\rm{m}}^2}/{\rm{k}}{{\rm{g}}^2}$ là hằng số hấp dẫn. Trọng lực này sinh công $W = \int_a^b F (h){\mkern 1mu} dh$ (J) khi vệ tinh thay đổi từ cách tâm Trái Đất $a$ (m) lên vị trí cách tâm Trái Đất $b$(m). Tính công tối thiểu để phóng một vệ tinh nặng $m = 1\,\,000{\mkern 1mu} {\rm{kg}}$ từ mặt đất lên độ cao $35\,\,780{\mkern 1mu} {\rm{km}}$ so với mặt đất, biết bán kính Trái Đất là $6\,\,370{\mkern 1mu} {\rm{km}}$.

Lời giải chi tiết

Công thức tính công thực hiện:

$M = {6.10^{24}}{\mkern 1mu} {\rm{kg}},\quad m = 1000{\mkern 1mu} {\rm{kg}},\quad G = 6.67 \times {10^{ - 11}}{\mkern 1mu} {\rm{N}}{{\rm{m}}^2}/{\rm{k}}{{\rm{g}}^2}$

${R_{{\rm{Earth}}}} = 6\,\,370{\mkern 1mu} {\rm{km}} = 6,37 \times {10^6}{\mkern 1mu} {\rm{m}}$

Độ cao $h = 35\,\,780{\mkern 1mu} {\rm{km}} = 3,578 \times {10^7}{\mkern 1mu} {\rm{m}}$.

Tính tích phân:

$W = GMm\int_{{R_{{\rm{Earth}}}}}^{{R_{{\rm{Earth}}}} + h} {\frac{1}{{{r^2}}}} {\mkern 1mu} dr = GMm\left[ { - \frac{1}{r}} \right]_{{R_{{\rm{Earth}}}}}^{{R_{{\rm{Earth}}}} + h} = GMm\left( {\frac{1}{{{R_{{\rm{Earth}}}}}} - \frac{1}{{{R_{{\rm{Earth}}}} + h}}} \right)$

$W = (6.67 \times {10^{ - 11}}) \times ({6.10^{24}}) \times (1000) \times \left( {\frac{1}{{6.37 \times {{10}^6}}} - \frac{1}{{6.37 \times {{10}^6} + 3.578 \times {{10}^7}}}} \right)$

$W \approx 5,33 \times {10^{10}}{\mkern 1mu} {\rm{J}}$.