Giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)$.

a) Viết phương trình các mặt phẳng $(ABCD),(A'B'C'D')$ và $(ADDA')$.

b) Tính chiều cao của hình hộp.

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình các mặt phẳng:

- Mặt phẳng $(ABCD)$: Xét các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$, ta có:

$\overrightarrow {AB}  = (2 - 1,1 - 0,2 - 1) = (1,1,1)$

$\overrightarrow {AD}  = (1 - 1, - 1 - 0,1 - 1) = (0, - 1,0)$

Tìm tích có hướng của $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD}$:

$\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AD}  = (1 \cdot 0 - 1 \cdot ( - 1);1 \cdot 0 - 1 \cdot 0;1 \cdot ( - 1) - 1 \cdot 0) = (1;0; - 1)$

Phương trình mặt phẳng có dạng:

$1(x - 1) + 0(y - 0) - 1(z - 1) = 0 \Rightarrow x - z = 0$

Vậy phương trình mặt phẳng $(ABCD)$ là $x - z = 0$.

- Mặt phẳng $(A'B'C'D')$:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên hai mặt phẳng $(ABCD)$ và $(A'B'C'D')$ song song với nhau, suy ra vectơ phép tuyến của mặt phẳng $(A'B'C'D')$ cũng là $\overrightarrow n  = (1;0; - 1)$.

Phương trình mặt phẳng có dạng:

$1(x - 4) + 0(y - 5) - 1(z + 5) = 0 \Rightarrow x - z - 9 = 0$

Vậy phương trình mặt phẳng $(A'B'C'D')$ là $x - z - 9 = 0$.

- Mặt phẳng $(ADDA')$:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên:

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {D'C'}  \to \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OC'}  - \overrightarrow {OD'}  \to \overrightarrow {OD'}  = \overrightarrow {OC'}  - \overrightarrow {AB}  = (4 - 1;5 - 1; - 5 - 1) = (3;4; - 6)$

Ta có điểm $D = (3;4; - 6)$

$\overrightarrow {AD'}  = (3 - 1;4 - 0; - 6 - 1) = (2;4; - 7)$

$\overrightarrow {AD}  = (0; - 1;0)$

Tìm tích có hướng của $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD}$:

$\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AD}  = (4 \cdot 0 - ( - 7) \cdot ( - 1);( - 7) \cdot 0 - 2 \cdot 0;2 \cdot ( - 1) - 4 \cdot 0) = ( - 7;0; - 2)$

Phương trình mặt phẳng có dạng:

$- 7(x - 1) + 0(y - 0) - 2(z - 1) = 0 \Rightarrow  - 7x - 2z + 9 = 0$

Vậy phương trình mặt phẳng $(ADDA')$ là $x - z = 0$.

b) Tính chiều cao của hình hộp. Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng đáy $(A'B'C'D')$, sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

$d = \frac{{|1.1 - 1.1 - 9|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{9}{{\sqrt 2 }}$

Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng đáy $(A'B'C'D')$ là $\frac{9}{{\sqrt 2 }}$.