Giải mục 1 trang 11, 12, 13, 14 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc $v(t) = 3t + 2$ (m/s). Gọi $s(t)$ là quãng đường vật đi được đến thời điểm $t$ giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm $t = 3$ giây đến thời điểm $t = 5$ giây.

a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng $L = s(5) - s(3)$.

b) Gọi $F(t)$ là một nguyên hàm bất kì của $v(t)$. So sánh $L$ và $F(5) - F(3)$.

Phương pháp giải:

a) Đại lượng $L = s(5) - s(3)$ biểu diễn quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = 3$ giây đến thời điểm $t = 5$ giây.

b) Ta cần tìm nguyên hàm của hàm vận tốc $v(t)$ để tìm hàm quãng đường $s(t)$. So sánh $L$ với hiệu của giá trị nguyên hàm tại $t = 5$ và $t = 3$.

Lời giải chi tiết:

a) $L = s(5) - s(3)$ là quãng đường mà vật đã đi được từ thời điểm $t = 3$ giây đến thời điểm $t = 5$ giây.

b) Ta biết rằng $s(t)$ là một nguyên hàm của $v(t) = 3t + 2$. Tính nguyên hàm của $v(t)$:

$F(t) = \int {(3t + 2)} {\mkern 1mu} dt = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t + C$

Do đó:

$F(5) - F(3) = \left( {\frac{{3{{(5)}^2}}}{2} + 2(5) + C} \right) - \left( {\frac{{3{{(3)}^2}}}{2} + 2(3) + C} \right)$

$= \left( {\frac{{75}}{2} + 10} \right) - \left( {\frac{{27}}{2} + 6} \right)$

$= \frac{{75 + 20}}{2} - \frac{{27 + 12}}{2} = \frac{{95}}{2} - \frac{{39}}{2} = \frac{{56}}{2} = 28{\rm{ (m)}}$

Do đó, $L = F(5) - F(3)$, tức là quãng đường $s(5) - s(3)$ chính là hiệu của hai giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm tương ứng.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Gọi $(H)$ là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng $y = 2x + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$, $x = t$ (1 ≤ t ≤ 4) (Hình 4.3a).

a) Tính diện tích $S$ của hình $(H)$ khi $t = 4$ (Hình 4.3b).

b) Tìm hàm số $S(t)$ biểu thị diện tích của hình $(H)$ với $t \in [1;4]$.

c) Chứng minh $S(t)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(t) = 2t + 1$ trên đoạn [1; 4] và $S = S(4) - S(1)$.

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích hình thang vuông bằng công thức trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy. Trong trường hợp này thì độ dài chiều cao sẽ là khoảng cách từ ${x_1}$ đến ${x_2}$ và độ dài hai cạnh đáy sẽ là giá trị của $y$ tại hai điểm ${x_1}$ và ${x_2}$.

b) Xét diện tích hình thang tổng quát khi $t$ thay đổi, tìm hàm số diện tích $S(t)$.

c) Chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của hàm số $S(t)$ và so sánh với $f(t)$.

Lời giải chi tiết:

a) Khi $t = 4$, diện tích của hình thang vuông $(H)$ là:

$S = \frac{1}{2} \times ({y_1} + {y_2}) \times ({x_2} - {x_1})$

Trong đó: ${y_1} = 2(1) + 1 = 3$ ${y_2} = 2(4) + 1 = 9$ ${x_1} = 1$, ${x_2} = 4$.

Do đó:

$S = \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times (4 - 1) = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18$ (đơn vị diện tích)

b) Diện tích hình thang tổng quát khi $t$ thay đổi từ 1 đến 4:

$S(t) = \frac{1}{2} \times ({y_1} + y(t)) \times (t - 1)$

Trong đó: ${y_1} = 3$ $y(t) = 2t + 1$ ${x_1} = 1$, ${x_2} = t$ Do đó:

$S(t) = \frac{1}{2} \times (3 + 2t + 1) \times (t - 1) = \frac{1}{2}S(t) = \frac{1}{2} \times (2t + 4) \times (t - 1)$

$S(t) = (t + 2) \times (t - 1) = {t^2} - t + 2t - 2 = {t^2} + t - 2$

c) Chứng minh $S(t)$ là nguyên hàm của hàm $f(t) = 2t + 1$:

$S(t) = {t^2} + t - 2$

Lấy đạo hàm của $S(t)$:

$S'(t) = 2t + 1 = f(t)$

Do đó, $S(t)$ là nguyên hàm của $f(t) = 2t + 1$. Cuối cùng, diện tích $S = S(4) - S(1)$ được tính như sau:

$S(4) = {4^2} + 4 - 2 = 16 + 4 - 2 = 18$

$S(1) = {1^2} + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$

$S = 18 - 0 = 18$ (đơn vị diện tích).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hàm số $f(x) = 2x$.

a) Tìm các hàm số $F(x),G(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a;b].$

b) So sánh $F(b) - F(a)$ và $G(b) - G(a)$.

Phương pháp giải:

a)

- Nguyên hàm của một hàm số $f(x)$ là một hàm số $F(x)$ sao cho $F'(x) = f(x)$.

- Để tìm nguyên hàm của $f(x)$, ta thực hiện việc tích phân $f(x)$ theo $x$.

b)

- Hai nguyên hàm của cùng một hàm số $f(x)$ chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu $F(x)$ và $G(x)$ đều là nguyên hàm của $f(x)$, thì $F(x) = G(x) + C$ với $C$ là một hằng số. Từ đó, tính hiệu $F(b) - F(a)$ và $G(b) - G(a)$ để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) Xét hàm số $f(x) = 2x$. Nguyên hàm của $f(x)$ được tính bằng cách tích phân:

$F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx$

Áp dụng công thức tích phân:

$F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}$

Trong đó, ${C_1}$ là hằng số tích phân. Tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của $f(x)$:

$G(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_2}$

Trong đó, ${C_2}$ là một hằng số khác. Như vậy, hai nguyên hàm của $f(x)$ có dạng:

$F(x) = {x^2} + {C_1}$

$G(x) = {x^2} + {C_2}$

b)

Ta có:

$F(b) - F(a) = \left( {{x^2} + {C_1}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_1}) - ({a^2} + {C_1}) = {b^2} - {a^2}$

Và:

$G(b) - G(a) = \left( {{x^2} + {C_2}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_2}) - ({a^2} + {C_2}) = {b^2} - {a^2}$

Từ đây, dễ thấy rằng:

$F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = {b^2} - {a^2}$

Kết luận: Mặc dù $F(x)$ và $G(x)$ là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu $F(b) - F(a)$ và $G(b) - G(a)$ luôn bằng nhau, và đều bằng ${b^2} - {a^2}$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính

a) $\int\limits_1^3 {{x^3}dx;}$

b) $\int\limits_0^\pi  {\cos udu.}$

Phương pháp giải:

- Tìm nguyên hàm của hai hàm số.

- Áp dụng công thức của tích phân xác định:

$\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)$

trong đó, $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$.

Lời giải chi tiết:

a)

Tìm nguyên hàm của ${x^3}$:

$\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + C$

Do đó, nguyên hàm của $f(x) = {x^3}$ là $F(x) = \frac{{{x^4}}}{4}$. Áp dụng công thức tính tích phân xác định:

$\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_1^3$

Thay giá trị $x = 3$ và $x = 1$ vào nguyên hàm:

$\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} - \frac{{{1^4}}}{4} = \frac{{81}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{{80}}{4} = 20$

Kết quả:

$\int\limits_1^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = 20$

b)

Tìm nguyên hàm của $\cos u$:

$\int {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin u + C$

Do đó, nguyên hàm của $f(u) = \cos u$ là $F(u) = \sin u$. Áp dụng công thức tính tích phân xác định:

$\int\limits_0^\pi  {\cos } u{\mkern 1mu} du = \left[ {\sin u} \right]_0^\pi$

Thay giá trị $u = \pi$ và $u = 0$ vào nguyên hàm:

$\int\limits_0^\pi  {\cos } u{\mkern 1mu} du = \sin (\pi ) - \sin (0) = 0 - 0 = 0$

Kết quả:

$\int\limits_0^\pi  {\cos } u{\mkern 1mu} du = 0$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $f(x) = {2^x}$ và $F(0) = 0$. Tính $F(1)$.

Phương pháp giải:

- Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = {2^x}$:

- Áp dụng công thức của tích phân xác định để tìm $F(1)$

$\int\limits_a^b f (x){\mkern 1mu} dx = F(b) - F(a)$

trong đó, $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$.

Lời giải chi tiết:

Tìm nguyên hàm của $f(x) = {2^x}$:

$F(x) = \int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx$

Sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ, ta có:

$F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$

Áp dụng công thức tính tích phân xác định, ta có:

$\int\limits_0^1 f (x){\mkern 1mu} dx = F(1) - F(0)$

Suy ra:

$F(1) = \int\limits_0^1 {f(x)}  + F(0) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + 0 = \frac{1}{{\ln 2}}$

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt x$, trục hoành và các đường thẳng $x = 1$, $x = 4$. (Hình 4.6).

Phương pháp giải:

- Thiết lập tích phân để tính diện tích hình thang cong:

$S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx$

- Tính tích phân xác định từ 1 đến 4 của hàm $\sqrt x$.

Lời giải chi tiết:

Thiết lập tích phân:

$S = \int_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \int_1^4 {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx$

Tính tích phân:

$\int {{x^{1/2}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}} + C = \frac{2}{3}{x^{3/2}} + C$

Do đó, diện tích cần tìm là:

$S = \left[ {\frac{2}{3}{x^{3/2}}} \right]_1^4 = \frac{2}{3}\left[ {{4^{3/2}} - {1^{3/2}}} \right]$

Tính giá trị cụ thể:

${4^{3/2}} = {({2^2})^{3/2}} = {2^3} = 8$

$S = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{{14}}{3}$