Giải mục 1 trang 22, 23, 24, 25, 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 22 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong Hình 4.10, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x - 3$, trục hoành và các đường thẳng $x = 1$ và $x = 6$.

a) Tính diện tích của (H).

b) Tính các tích phân $\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx$ và $\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx$. So sánh hai tích phân này với kết quả tính được ở câu a và rút ra nhận xét.

Phương pháp giải:

a)

Diện tích (H) có thể tính bằng cách cộng diện tích của hai tam giác. Diện tích của tam giác được tính bằng công thức:

$S = \frac{1}{2} \times h \times$đáy

b)

- Tính trực tiếp các tích phân $\int_1^6 {(x - 3)dx}$ và $\int_1^6 {\left| {x - 3} \right|dx}$.

- So sánh kết quả của hai tích phân này với diện tích tính được ở câu a để rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a)

Hình phẳng (H) trong đề bài là hai hình tam giác vuông, với các cạnh là:

- Đáy của tam giác thứ nhất: $6 - 3 = 3$

- Chiều cao của tam giác thứ nhất: $3 - 0 = 3$

- Đáy của tam giác thứ hai: $3 - 1 = 2$

- Chiều cao của tam giác thứ nhất: $0 - ( - 2) = 2$

Diện tích tam giác được tính theo công thức:

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 + \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = \frac{9}{2} + 2 = 6,5$

b)

Tính tích phân thứ nhất:

$\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{{(x - 3)}^2}}}{2}} \right]_1^6 = \frac{9}{2} - 2 = \frac{7}{2} = 2,5$

Tính tích phân thứ hai:

$\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx = \int_1^3 {(3 - x)} {\mkern 1mu} dx + \int_3^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = 2 + \frac{9}{2} = 6,5$

Nhận xét:

- Tích phân thứ nhất $\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = 3.5$ không phản ánh diện tích thực của hình phẳng, vì hàm số nhận giá trị âm trong khoảng từ 1 đến 3.

- Tích phân thứ hai $\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx = 6.5$ chính là diện tích hình phẳng tính được ở câu a, vì nó tính giá trị tuyệt đối của hàm số, tức là cả phần âm và phần dương.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 23 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3}$, trục hoành và các đường thẳng $x =  - 3,x = 2$.

Phương pháp giải:

- Xác định ình phẳng cần tính diện tích.

- Phân tích dấu của hàm $y = {x^3}$.

- Tìm biểu thức diện tích tổng quát.

- Tính các tích phân dựa trên biểu thức diện tích tổng quát.

Lời giải chi tiết:

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3}$, trục hoành $y = 0$, và hai đường thẳng $x =  - 3$ và $x = 2$. Tại các khoảng khác nhau, đồ thị có thể nằm bên trên hoặc bên dưới trục hoành, nên cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối $|{x^3}|$ để đảm bảo kết quả diện tích là dương.

- Từ $x =  - 3$ đến $x = 0$, $y = {x^3}$ là âm.

- Từ $x = 0$ đến $x = 2$, $y = {x^3}$ là dương.       

Diện tích hình phẳng được tính bằng cách lấy tích phân của $|{x^3}|$ từ $x =  - 3$ đến $x = 2$

$S = \int_{ - 3}^0  -  {x^3}{\mkern 1mu} dx + \int_0^2 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx$

Trong khoảng $x \in [ - 3,0]$, đổi dấu hàm số ${x^3}$ để đảm bảo diện tích là dương.

Tích phân của $- {x^3}$ trong khoảng $[ - 3,0]$:

$\int_{ - 3}^0  -  {x^3}{\mkern 1mu} dx =  - \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_{ - 3}^0 =  - \left( {\frac{{{0^4}}}{4} - \frac{{{{( - 3)}^4}}}{4}} \right) =  - \left( {0 - \frac{{81}}{4}} \right) = \frac{{81}}{4}$

Tích phân của ${x^3}$ trong khoảng $\left[ {0,{\rm{ }}2} \right]$:

$\int_0^2 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^2 = \frac{{{2^4}}}{4} - \frac{{{0^4}}}{4} = \frac{{16}}{4} = 4$

Diện tích tổng cộng là tổng của hai kết quả tích phân:

$S = \frac{{81}}{4} + 4 = \frac{{81}}{4} + \frac{{16}}{4} = \frac{{97}}{4}$

Vậy, diện tích của hình phẳng là:

$S = \frac{{97}}{4} = 24.25$.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một cái cổng có kích thước như Hình 4.14a. Vòm cổng có hình dạng một parabol có đỉnh $I(0;2)$ và đi qua điểm $B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)$ như Hình 4.14b. Tính diện tích hai cánh cửa cổng.

Phương pháp giải:

- Xác định phương trình parabol.

- Tính diện tích một cánh cửa cổng bằng cách tính tích phân diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ $x = 0$ đến $x = \frac{5}{2}$.

- Nhân diện tích một cánh cửa với 2 để ra diện tích hai cánh cửa cổng.

Lời giải chi tiết:

Xác định phương trình parabol đỉnh $I(0;2)$ có dạng:

$y = a{x^2} + 2$

Sử dụng điểm $B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)$ để tìm hệ số $a$:

$\frac{3}{2} = a{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + 2$

Giải ra ta được:

$a =  - \frac{2}{{25}}$

Vậy phương trình của parabol là:

$y =  - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2$

Diện tích một cánh cửa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ $x = 0$ đến $x = \frac{5}{2}$, được tính bằng tích phân:

$S = 2\int_0^{\frac{5}{2}} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)} dx$

Tính tích phân:

$S = 2\left[ {\left( { - \frac{2}{{25}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right]_0^{\frac{5}{2}}$

$S = 2\left[ { - \frac{2}{{25}} \cdot \frac{{125}}{{24}} + 2 \cdot \frac{5}{2}} \right]$

$S = 2\left( { - \frac{5}{{12}} + 5} \right) = 2\left( {\frac{{55}}{{12}}} \right) = \frac{{55}}{6}$

Vậy, diện tích hai cánh cửa cổng là: $9,167{{\rm{m}}^2}$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hai hàm số $f(x) = 6 - x$, $g(x) = \frac{1}{6}{x^2} + 1$.

a) Tính ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng $x = 1,{\rm{ }}x = 3$ và đồ thị hàm số $y = f\left( x \right).$

b) Tính ${S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng $x = 1,{\rm{ }}x = 3$ và đồ thị hàm số $y = g\left( x \right).$

c) Qua ${S_1},\,\,{S_2}$ tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

$y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = g\left( x \right)$ và các đường thẳng $x = 1,{\rm{ }}x = 3$. (phần hình phẳng được gạch chéo trong Hình 4.15).

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích ${S_1}$ bằng cách lấy tích phân của hàm số $f(x) = 6 - x$ từ $x = 1$ đến $x = 3$

b) Tính diện tích ${S_2}$ bằng cách lấy tích phân của hàm số $g(x) = \frac{1}{6}{x^2} + 1$ từ $x = 1$ đến $x = 3$.

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị bằng cách lấy hiệu diện tích ${S_1} - {S_2}$.

Lời giải chi tiết:

a) Tính ${S_1}$

Diện tích ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng $x = 1$, $x = 3$ và đồ thị hàm số $y = f(x)$:

${S_1} = \int_1^3 {(6 - x)} dx$

Tính tích phân:

${S_1} = \left[ {6x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_1^3$

${S_1} = \left( {6 \cdot 3 - \frac{{{3^2}}}{2}} \right) - \left( {6 \cdot 1 - \frac{{{1^2}}}{2}} \right)$

${S_1} = (18 - 4.5) - (6 - 0.5) = 13.5 - 5.5 = 8$

b) Tính ${S_2}$

Diện tích ${S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng $x = 1$, $x = 3$ và đồ thị hàm số $y = g(x)$:

${S_2} = \int_1^3 {\left( {\frac{1}{6}{x^2} + 1} \right)} dx$

Tính tích phân:

${S_2} = \left[ {\frac{1}{6} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right]_1^3$

${S_2} = \left( {\frac{1}{6} \cdot \frac{{27}}{3} + 3} \right) - \left( {\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} + 1} \right)$

${S_2} = \left( {\frac{9}{6} + 3} \right) - \left( {\frac{1}{{18}} + 1} \right)$

${S_2} = (1.5 + 3) - \left( {\frac{1}{{18}} + 1} \right) = 4.5 - \frac{{19}}{{18}} = \frac{{81}}{{18}} - \frac{{19}}{{18}} = \frac{{62}}{{18}} \approx 3,44$

c) Tính diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $f(x)$ và $g(x)$ trong khoảng $x = 1$ đến $x = 3$ là:

$S = {S_1} - {S_2} = 8 - 3,44 = 4,56$

Vậy, diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị là $S = 4,56$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính diện tích hình phẳng được tô màu trong Hình 4.18.

Phương pháp giải:

- Xác định giao điểm của hai đường $y = {x^3}$ và $y = x$ bằng cách giải phương trình: ${x^3} = x$

- Diện tích hình phẳng giữa hai đường cong $y = {x^3}$ và $y = x$ trong khoảng từ $x =  - 1$ đến $x = 1$ được tính bằng:

$S = \int_{ - 1}^1 | x - {x^3}|{\mkern 1mu} dx$

Lời giải chi tiết:

Giao điểm của hai đường $y = {x^3}$ và $y = x$ là:

${x^3} = x \Leftrightarrow x({x^2} - 1) = 0$

Suy ra: $x = 0$, $x = 1$, và $x =  - 1$.

Vì trên khoảng từ $- 1$ đến 0, $y = {x^3}$ nằm trên $y = x$, và trên khoảng từ 0 đến 1, $y = x$ nằm trên $y = {x^3}$, ta có:

$S = \int_{ - 1}^0 {({x^3} - x)} {\mkern 1mu} dx + \int_0^1 {(x - {x^3})} {\mkern 1mu} dx$

Tính tích phân:

$\int_{ - 1}^0 {({x^3} - x)} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{ - 1}^0 = \left( {0 - 0} \right) - \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$\int_0^1 {(x - {x^3})} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^1 = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right) - (0 - 0) = \frac{1}{4}$

Vậy diện tích hình phẳng là:

$S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.