Giải mục 2 trang 52, 53, 54 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 52 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Nhắc lại các khái niệm liên quan đến vectơ trong mặt phẳng:

- Độ dài của vectơ.

- Giá của vectơ.

- Hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng.

- Hai vectơ bằng nhau.

- Hai vectơ đối nhau.

- Vectơ-không.

Phương pháp giải:

Các khái niệm liên quan đến vectơ trong không gian có trong Sách giáo khoa trang 52.

Lời giải chi tiết:

- Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ $\vec a$ được kí hiệu là $|\vec a|$.

- Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Nếu hai vectơ $\vec a,\vec b$ bằng nhau thì ta viết là $\vec a = \vec b$.

- Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng. Vectơ đối của $\vec a$ được kí hiệu là $- \vec a$.

- Vectơ-không có độ dài bằng 0 và cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 54 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình hộp $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$.

a) Trong các vectơ khác $\vec 0$, có điểm đầu và̀ điểm cuối là các đỉnh của hình hộp, hãy chỉ ra những vectơ:

- Cùng phương với vectơ $\overrightarrow {AB}$;

- Bä̀ng vectơ $\overrightarrow {AB}$;

- Ngược hướng với vectơ $\overrightarrow {A{A^\prime }}$.

b) Tính độ dài của  vectơ $\overrightarrow {A{C^\prime }}$ trong trường hợp $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình hộp đứng, có $A{A^\prime } =$ a, $AB = b,BC = c$ và $\widehat {ABC} = {120^o}$.

Phương pháp giải:

a) Xác định các vectơ theo yêu cầu đề bài dựa trên lý thuyết về vectơ.

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Nếu hai vectơ $\vec a,\vec b$ bằng nhau thì ta viết là $\vec a = \vec b$.

b) Sử dụng công thức và định lý để tính độ dài của vectơ.

Lời giải chi tiết:

a) Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp:

- Cùng phương với  vectơ $\overrightarrow {AB}$ :$\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }}$, $\overrightarrow {DC}$, $\overrightarrow {{D^\prime }{C^\prime }}$,$\overrightarrow {{B^\prime }{A^\prime }}$, $\overrightarrow {CD}$, $\overrightarrow {{C^\prime }{D^\prime }}$,$\overrightarrow {BA}$

- Bằng vectơ $\overrightarrow {AB}$ :$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }}  = \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {{D^\prime }{C^\prime }}$

- Ngược hướng với vectơ $\overrightarrow {A{A^\prime }}$: $\overrightarrow {{B^\prime }B}$,$\overrightarrow {{C^\prime }C}$,$\overrightarrow {{D^\prime }D}$,$\overrightarrow {{A^\prime }A}$

b) Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow {A{C^\prime }}$:

- Vì $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình hộp đứng, suy ra tam giác $AA'C'$ vuông tại $A'$. Từ đó ta có:

$\begin{array}{l}AC' = \sqrt {{{(AA')}^2} + {{(A'C')}^2}}  = \sqrt {{a^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + (A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos (120^\circ )} \\AC' = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2bc.\left( { - \frac{1}{2}} \right)}  = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - bc} \end{array}$

Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow {A{C^\prime }}$là: $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - bc}$