Giải mục 2 trang 67, 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

CH1

Trả lời câu hỏi Câu hỏi 1 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) là một số dương? Là một số âm?

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \): \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).

Nhận xét: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\) (do \(\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right| > 0\)). Do đó:

+) \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  > 0\)  \( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) > 0\) hay \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) < {90^o}\).

+) \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  < 0\) \( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) < 0\) hay \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) \le {180^o}\).

Vậy \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  > 0\)  nếu \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) < {90^o}\) và \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  < 0\) nếu \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) \le {180^o}\).

CH2

Trả lời câu hỏi Câu hỏi 2 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Khi nào thì \({\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)?

Phương pháp giải:

+) \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).

+) \({\overrightarrow u ^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\) với mọi vectơ \(\overrightarrow u \).

Lời giải chi tiết:

\({\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)} \right]^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow v } \right|^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 1\\\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {0^o}\\\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^o}\end{array} \right.\) 

Hay hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương.

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương thì \({\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) theo a, b, c.

Phương pháp giải:

Tích vô hướng: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

Mà \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \cos \widehat {BAC}\).

Lại có: \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\) (suy ra từ định lí cosin)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = c.b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\).