Giải mục 3 trang 84 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

Một hộp có 10 tấm thẻ giống nhau được đánh số lần lượt từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố “Tích các số ghi trên ba thẻ đó là số chẵn”.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định không gian mẫu.

Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi của biến cố.

Bước 3: Tính xác xuất bằng công thức \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\).

Lời giải chi tiết:

Do các tấm thẻ giống nhau, nên lấy 3 tấm từ 10 tấm không quan tâm thứ tự có \(C_{10}^3 = 120\) cách, suy ra \(n\left( \Omega  \right) = 120\).

Gọi A là biến cố “Tích các số ghi trên ba thẻ đó là số chẵn”.

Để tích các số trên thẻ là số chẵn thì ít nhất có 1 thẻ là số chẵn.

Để chọn ra 3 thẻ thuận lợi cho biến cố A ta có 3 khả năng.

+) Khả năng 1: 3 thẻ chọn ra có 1 thẻ có số chẵn và 2 thẻ có số lẻ có \(5.C_5^2 = 50\) khả năng.

+) Khả năng 2: 3 thẻ chọn ra có 2 thẻ có số chẵn và 1 thẻ có số lẻ có \(C_5^2.5 = 50\) khả năng.

+) Khả năng 3: 3 thẻ chọn ra có đều là có số chắn có \(C_5^3 = 10\) khả năng.

Suy ra \(n\left( A \right) = 50 + 50 + 10 = 110\).

Vậy xác suất của biến cố A là:   \(P(A) = \frac{{110}}{{120}} = \frac{{11}}{{12}}\)

Thực hành 3

Gieo đồng thời 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:

a) “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”.

b) “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biến cố đối của biến cố đã cho.

Bước 2: Xác định xác suất của biến cố đã xác định ở bước 1.

Bước 3: Xác định biến cố ban đầu.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi biến cố A: “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3” là biến cố đối của biến cố "Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3".

Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = {6^3}\).

A xảy ra khi mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đều xuất hiện số chấm không chi hết cho 3. Số kết quả thuận lợi cho A là: \(n(A) = {4^3}\).

Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{{4^3}}}{{{6^3}}} = \frac{8}{{27}}\).

Vậy xác suất của biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3” là \(1 - \frac{8}{{27}} = \frac{{19}}{{27}}\).

b) Gọi biến cố B: “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 4” là biến cố đối của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”.

Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = {6^3}\).

Ta có tập hợp kết quả thuận lợi cho biến cố B như sau: \(B = \left\{ {(1;1;1),(1;1;2)} \right\}\). Số kết quả thuận lợi cho B là: \(n(A) = 2\).

Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{{{6^3}}} = \frac{1}{{108}}\).

Vậy xác suất của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4” là \(1 - \frac{1}{{108}} = \frac{{107}}{{108}}\).

Thực hành 4

Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra:

a) Có ít nhất 1  bi xanh

b) Có ít nhất 2 bi đỏ

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biến cố đối của biến cố đã cho.

Bước 2: Xác định xác suất của biến cố đã xác định ở bước 1.

Bước 3: Xác định biến cố ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = C_{12}^4 = 495\).

a) Gọi biến cố A: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh”, suy ra biến cố đối của biến cố A là \(\overline A \): “Trong 4 viên bi lấy ra không có viên bi xanh nào”.

\(\overline A \) xảy ra khi 4 viên bi lấy ra chỉ có màu đỏ hoặc vàng. Số kết quả thuận lợi cho \(\overline A \) là: \(n(A) = C_9^4 = 126\).

Xác suất của biến cố \(\overline A \) là: \(P(\overline A ) = \frac{{n(\overline A )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{126}}{{495}} = \frac{{14}}{{55}}\).

Vậy xác suất của biến cố  A là \(P(A) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{14}}{{55}} = \frac{{41}}{{55}}\).

b) Gọi biến cố B: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 2 bi đỏ”, suy ra biến cố đối của biến cố B là \(\overline B \): “Trong 4 viên bi lấy ra có ít hơn 2 bi đỏ”.

\(\overline B \) xảy ra khi 4 viên bi lấy ra không có bi đỏ hoặc có 1 bi đỏ.

+ Không có bi đỏ: \(C_8^4 = 70\) kết quả.

+ Có 1 bi đỏ: \(C_4^1.C_8^3 = 224\) kết quả.

Số kết quả thuận lợi cho \(\overline B \) là: \(n(B) = 70 + 224 = 294\).

Xác suất của biến cố \(\overline B \) là: \(P(\overline B ) = \frac{{n(\overline B )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{294}}{{495}} = \frac{98}{{165}}\).

Vậy xác suất của biến cố B là \(P(A) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{98}{{165}} = \frac{{67}}{{165}}\).