Giải mục II trang 67, 68 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 6

Cho $\alpha$ là góc nhọn, chứng minh: 

a) $HC = |AC - AH|$ và $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AH . AC$; 

b) $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$.

Lời giải chi tiết:

a) Nếu góc C nhọn thì H nằm giữa A và C. Do đó $HC = AC - AH = |AC - AH|$ (Hình 7). 

Nếu góc C tù thì C nằm giữa A và H. Do đó $HC = AH - AC = |AC - AH|$ (Hình 8). 

Nếu góc C vuông thì C trùng với H. Do đó $HC = 0 = |AC - AH|$. 

Trong mọi trường hợp, ta đều có $HC = |AC - AH|$. 

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có: $BC^2 = BH^2 + HC^2 = BH^2 + (AC - AH)^2 = (BH^2 + AH^2) + AC^2 - 2AH . AC$ $= AB^2 + AC^2 - 2AH . AC$. 

b) Xét tam giác vuông AHB, ta có: $AH = AB \cos A = c \cos \alpha$. 

Do đó $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AH . AC = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$. 

Vậy $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$.

Hoạt động 7

Cho $\alpha$ là góc tù. Chứng minh: 

a) $HC = AC + AH$ và $BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AH . AC$; 

b) $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$. 

Lời giải chi tiết:

a) Xét các tam giác vuông $BHC$ và $AHB$, áp dụng định lí Pythagore, ta có: 

$BC^2 = BH^2 + HC^2 = BH^2 + (AC + AH)^2$ 

$= (BH^2 + AH^2) + AC^2 + 2AH . AC$ 

$= AB^2 + AC^2 + 2AH . AC$. 

b) Xét tam giác vuông $AHB$, ta có: 

$AH = AB \cos (180^o - \alpha) = -c \cos \alpha$. 

Do đó $BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AH . AC = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$. 

Vậy $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$.

Hoạt động 8

Cho \(\alpha \) là góc vuông. Chứng minh \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos \alpha \).

Phương pháp giải:

Dựa vào định lí Pytago cho tam giác ABC: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\alpha  = {90^o} \Rightarrow \cos \alpha  = \cos {90^o} = 0\).

\( \Rightarrow {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos \alpha  = {b^2} + {c^2}\).

Mà tam giác ABC có \(\alpha  = {90^o}\) nên: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\).

Do đó \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos \alpha \) (đpcm).

Luyện tập – vận dụng 2

Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Tính cosA.

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\).

Bước 2: Thay số, suy ra cosA.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)

\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Mà \(AB = c = 5,{\rm{ }}AC = b = 6,{\rm{ }}BC = a = 7\).

\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{6^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.5.6}} = \frac{1}{5}\).

Chú ý

Từ định lí cosin, ta suy cách tìm góc khi biết độ dài 3 cạnh

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\;\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\;\cos C = \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).