Lý thuyết Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ - SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết

1. Phương trình đường thẳng

a) Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng

Chú ý:

- Nếu đường thẳng $\Delta$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = (a;b)$ thì $\Delta$ sẽ nhận $\overrightarrow u  = (b; - a)$ hoặc $\overrightarrow u  = ( - b;a)$ là một vecto chỉ phương.

- Nếu $\overrightarrow u$ là một vecto chỉ phương của $\Delta$ thì $k\overrightarrow u$ $(k \ne 0)$ cũng là một vecto chỉ phương của $\Delta$.

- Nếu $\overrightarrow n$ là một vecto pháp tuyến của $\Delta$ thì $k\overrightarrow n$ $(k \ne 0)$ cũng là một vecto pháp tuyến của $\Delta$.

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Chú ý: Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng $\Delta$ và ngược lại.

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng

Nhận xét:

- Đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và nhận $\overrightarrow n  = (a;b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0 \Leftrightarrow ax + by + ( - a{x_0} - b{y_0}) = 0$.

- Mỗi phương trình $ax + by + c = 0$ (a và b không đồng thời bằng 0)  đều xác định một đường thẳng $\Delta$ trong mặt phẳng tọa độ nhận một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n  = (a;b)$.

d) Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

- Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát $ax + by + c = 0$ (a hoặc b khác 0) là đồ thị hàm số bậc nhất khi và chỉ khi $a \ne 0$ và $b \ne 0$. Khi đó, ta có thể viết

$ax + by + c = 0 \Leftrightarrow y =  - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \Leftrightarrow y = kx + {y_0}$.

- Phương trình trục hoành là y = 0, phương trình trục tung là x = 0.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ $({a_1}^2 + {b_1}^2 > 0)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}}$ và đường thẳng ${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ $({a_2}^2 + {b_2}^2 > 0)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}}$.

Chú ý:

a) Nếu $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0$ thì $\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}$, suy ra ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$.

b) Để xét hai vecto $\overrightarrow {{n_1}}  = ({a_1};{b_1})$ và $\overrightarrow {{n_2}}  = ({a_2};{b_2})$ cùng phương hay không, ta xét biểu thức ${a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}$:

+ Nếu ${a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0$ thì hai vecto cùng phương.

+ Nếu ${a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} \ne 0$ thì hai vecto không cùng phương.

Trong trường hợp tất cả các hệ số ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2}$ đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:

+ Nếu $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}$ thì hai vecto cùng phương.

+ Nếu $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}$ thì hai vecto không cùng phương.

3. Góc giữa hai đường thẳng

a) Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

Quy ước:

+ Khi ${\Delta _1}$ song song hoặc trùng với ${\Delta _2}$, ta nói góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ bằng ${0^o}$.

+ Góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng ${90^o}$, tức là $({\Delta _1},{\Delta _2}) \le {90^o}$.

+ Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ được kí hiệu là $(\widehat {{\Delta _1},{\Delta _2}})$ hoặc $({\Delta _1},{\Delta _2})$.

b) Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Nhận xét: Nếu ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}$, $\overrightarrow {{u_2}}$ thì $\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} )} \right|$.

Chú ý:

+ Nếu ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ lần lượt có phương trình ${a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ thì $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {90^o} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0$.

+ Nếu ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ lần lượt có phương trình $y = {k_1}x + {m_1}$ và $y = {k_2}x + {m_2}$ thì ta có $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {90^o} \Leftrightarrow {k_1}{k_2} =  - 1$.

Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng -1 thì vuông góc với nhau.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $ax + by + c = 0$ $({a^2} + {b^2} > 0)$ và điểm ${M_0}({x_0};{y_0})$. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M,\Delta )$, được tính bởi công thức sau:

B. Bài tập

Bài 1:

a) Cho đường thẳng $\Delta$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{5}{2}} \right)$. Tìm vecto chỉ phương của $\Delta$.

b) Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = (1;3)$. Tìm hai vecto pháp tuyến của d.

Giải:

a) $\Delta$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{5}{2}} \right)$, suy ra $\Delta$ cũng có vecto pháp tuyến $2\overrightarrow n  = \left( {1; - 5} \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = (5;1)$.

b) Hai vecto pháp tuyến của d là $\overrightarrow n  = (3; - 1)$,  $- \overrightarrow n  = ( - 3;1)$.

Bài 2: Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ thỏa mãn:

a) Đi qua M(-2;-3) và có $\overrightarrow n  = (2;5)$ là vecto pháp tuyến.

b) Đi qua M(3;-5) và có $\overrightarrow u  = (2; - 4)$ là vecto chỉ phương.

c) Đi qua A(-3;4) và B(1;-1).

Giải:

a) Phương trình $\Delta$ là $2(x + 2) + 5(y + 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y + 19 = 0$.

b) Phương trình $\Delta$ là $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 5}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0$.

c) Phương trình $\Delta$ là $\frac{{x + 3}}{{1 - ( - 3)}} = \frac{{y - 4}}{{ - 1 - 4}} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow 5x + 4y - 1 = 0$.

Bài 3: Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng là đồ thị hàm số bậc nhất sau:

a) ${d_1}:y = 2x + 3$

b) ${d_2}:y =  - \frac{1}{2}x + 5$

c) ${d_3}:y = x$

Giải:

a) Ta có $y = 2x + 3 \Leftrightarrow 2x - y + 3 = 0$.

Vậy phương trình tổng quát của ${d_1}$ là $2x - y + 3 = 0$.

b) Ta có $y =  - \frac{1}{2}x + 5 \Leftrightarrow x + 2y - 10 = 0$.

Vậy phương trình tổng quát của ${d_2}$ là $x + 2y - 10 = 0$.

c) Ta có $y = x \Leftrightarrow x - y = 0$.

Vậy phương trình tổng quát của ${d_3}$ là $x - y = 0$.

Bài 4: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) ${\Delta _1}:2x - y + 1 = 0$ và ${\Delta _2}: - x + 2y + 2 = 0$.

b) ${\Delta _3}:x - y - 1 = 0$ và ${\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.$.

Giải:

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2)$, đường thẳng ${\Delta _2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 2; - 1)$.

Do $\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{2}{{ - 1}}$ nên $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương, suy ra ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$.

b) Đường thẳng ${\Delta _3}$, ${\Delta _4}$ lần lượt có vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{u_3}}  = (1;1)$ và $\overrightarrow {{u_4}}  = (2;2)$. Suy ra $\overrightarrow {{u_4}}  = 2\overrightarrow {{u_3}}$. Chọn t = 0, ta có điểm $M(1;3) \in {\Delta _4}$. Do $1 - 3 - 1 \ne 0$ nên $M(1;3) \notin {\Delta _3}$.

Vậy ${\Delta _3}$ // ${\Delta _4}$.

Bài 5: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

${\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0$ và ${\Delta _2}:2x - 4y + 2 = 0$.

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\2x - 4y + 2 = 0\end{array} \right.$.

Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau.

Bài 6: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 {t_1}\\y = 1 + {t_1}\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 {t_2}\\y = 4 - {t_2}\end{array} \right.$.

b) ${\Delta _1}:3x + y - 10 = 0$ và ${\Delta _2}: - 2x + y - 7 = 0$.

Giải:

a) ${\Delta _1}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)$. ${\Delta _2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)$.

Do đó, ta có: $\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {\sqrt 3 .\sqrt 3  + 1.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}$.

Vậy $({\Delta _1},{\Delta _2}) = {60^o}$.

b) ${\Delta _1}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;1} \right)$. ${\Delta _2}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 2;1} \right)$.

Do đó, ta có: $\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.( - 2) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy $({\Delta _1},{\Delta _2}) = {45^o}$.

Bài 7: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ trong mỗi trường hợp sau:

a) M(-2;1) và $\Delta :2x - 3y + 5 = 0$.

b) M(1;-3) và $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 3t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.$.

Giải:

a) Ta có: $d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {2.( - 2) - 3.1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}$.

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = (4;3)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $4(x + 2) + 3(y - 2) = 0$. Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $4x + 3y + 2 = 0$.

Vậy $d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {4.1 + 3.( - 3) + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{5}$.