Giải mục 3 trang 54, 55, 56, 57 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 5

Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết $\widehat {xOz} = 38^\circ$ (hình 6).

Tính số đo các góc $\widehat {xOt},\widehat {tOy}$ và $\widehat {yOz}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hai góc $\widehat {xOz}$ và $\widehat {tOy}$ đối đỉnh nên $\widehat {xOz} = \widehat {tOy} = 38^\circ$.

Hai góc $\widehat {xOt}$ và $\widehat {yOz}$ đối đỉnh nên $\widehat {xOt} = \widehat {yOz}$.

Hai góc $\widehat {xOz}$ và $\widehat {xOt}$ bù nhau nên $\widehat {xOt} = 180^\circ  - \widehat {xOz} = 180^\circ  - 38^\circ  = 142^\circ$.

Vậy $\widehat {xOz} = \widehat {tOy} = 38^\circ$ và $\widehat {xOt} = \widehat {yOz} = 142^\circ$.

HĐ Khám phá 6

Cho hai đường thẳng

${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$  (${a_1}^2 + {b_1}^2 > 0$) và ${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$  $\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 > 0} \right)$

có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$.

Tìm tọa độ $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ và tính $\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)$.

Phương pháp giải:

+) Tọa độ của $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ được xác định từ phương trình tổng quát của hai đường thẳng.

+) Áp dụng biểu thức tọa độ của vectơ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

+) Từ phương trình ${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ ta xác định được tọa độ của vectơ $\overrightarrow {{n_1}}$ là $\left( {{a_1};{b_1}} \right)$.

+) Từ phương trình ${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ ta xác định được tọa độ của vectơ $\overrightarrow {{n_2}}$ là $\left( {{a_2};{b_2}} \right)$.

+) $\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$.

Thực hành 5

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$và ${\Delta _2}$ trong các trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:x + 3y - 7 = 0$ và ${\Delta _2}:x - 2y + 3 = 0$

b) ${\Delta _1}:4x - 2y + 5 = 0$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 13 + 2t\end{array} \right.$

c) ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 7 + 2t\\y = 1 - t\end{array} \right.$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đã cho.

Bước 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng bằng công thức $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 2} \right)$.

Ta có $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 3.( - 2)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 45^\circ$.

b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {4; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1} \right)$.

Ta có $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {4.2 + ( - 2).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1 \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 0^\circ$.

c) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2} \right)$.

Ta có ${a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 2.1 + ( - 1).2 = 0$.

Suy ra $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ$.

Vận dụng 5

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số $y = x$ và $y = 2x + 1$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết phương trình tổng quat từ đồ thị của hai hàm số đã cho.

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến.

Bước 3: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$.

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị hàm số ta có phương trình tổng quát:

$y = x \Leftrightarrow {d_1}:x - y = 0$, $y = 2x + 1 \Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0$

Từ đó ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1} \right)$.

$\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + ( - 1).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) \approx 18^\circ 26'$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng có đồ thị đã cho gần bằng $18^\circ 26'$.