Tam giác Pascal là gì? Ứng dụng khai triển nhị thức Newton - Toán 10

Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton \({(a + b)^n}\) với n = 0; 1; 2; 3;… được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số dưới đây. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũ tên trên bảng). Bảng số này được gọi là tam giác Pascal (đặt theo tên của nhà toán học, vật lý học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 – 1662).

Từ tam giác Pascal, ta có:

\({(a + b)^2} = C_2^0{a^2} + C_2^1{a^1}{b^1} + C_2^2{b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\).

\({(a + b)^3} = C_3^0{a^3} + C_3^1{a^2}b + C_3^2{a^1}{b^2} + C_3^3{b^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\).

\({(a + b)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3{a^1}{b^3} + C_4^4{b^4}\)

\( = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4{a^1}{b^3} + {b^4}\).

\({(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\)

\( = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Khai triển biểu thức \({(x + 1)^4}\).

Giải:

Xác định số hạng: a = x, b = 1.

\({(x + 1)^4} \)

\(= C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.1 + C_4^2{x^2}{.1^2} + C_4^3{x^1}{.1^3} + C_4^4{.1^4} \)

\(= {a^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).

2) Khai triển biểu thức \({(x - 1)^4}\).

Giải:

Có hai cách khai triển, tuỳ thuộc vào việc đặt b = -1 hay b = 1.

Nếu coi a = x, b = -1:

\({(x - 1)^4} \)

\(= C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.( - 1) + C_4^2{x^2}.{( - 1)^2} + C_4^3{x^1}.{( - 1)^3} + C_4^4.{( - 1)^4} \)

\(= {a^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).

Hoặc có thể coi a = x, b = 1 và áp dụng công thức khai triển tổng quát:

\({(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...\), khi đó sẽ nhận được kết quả như trên (xen kẽ dấu).

3)

a) Khai triển biểu thức \({(x - 2y)^4}\) và tìm hệ số của số hạng chứa \({y^4}\).

b) Khai triển biểu thức \({(3x - y)^5}\).

Giải:

a) Coi a = x, b = -2y.

\({(x - 2y)^4}\)

\(= {\left[ {x + ( - 2y)} \right]^4} = {x^4} + 4{x^3}( - 2y) + 6{x^2}{( - 2y)^2} + 4x{( - 2y)^3} + {( - 2y)^4}\)

\( = {x^4} - 8{x^3}y + 24{x^2}{y^2} - 32x{y^3} + 16{y^4}\).

Số hạng chứa \({y^4}\) là \(16{y^4}\), hệ số là 16.

b) Coi a = 3x, b = -y.

\({(3x - y)^5} = {\left[ {3x + ( - y)} \right]^5}\)

\( = {\left( {3x} \right)^5} + 5.{(3x)^4}.( - y) + 10{(3x)^3}.{( - y)^2} + 10{(3x)^2}.{( - y)^3} + 5.(3x).{( - y)^4} + {( - y)^5}\)

\( = 243{x^5} - 405{x^4}y + 270{x^3}{y^2} - 90{x^2}{y^3} + 15x{y^4} - {y^5}\).