Bài 3 trang 175 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn. Về phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác BAD vuông cân tại A, tam giác CAE vuông cân tại A. Chung minh rằng :

a) DC = BE.

b) $DC \bot BE.$

c) $B{D^2} + C{E^2} = B{C^2} + D{E^2}.$

Lời giải chi tiết

a)Ta có: $\eqalign{  & \widehat {BAE} = \widehat {CAE} + \widehat {BAC} = {90^0} + \widehat {BAC}  \cr  & \widehat {DAC} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} = {90^0} + \widehat {BAC} \cr}$

Nên $\widehat {BAE} = \widehat {DAC}$

Xét hai tam giác ADC và ABE có:

AD = AB (tam giác BAD vuông cân tại A)

$\widehat {DAC} = \widehat {BAE},AC = AE(\Delta CAE$  vuông cân tại A)

Do đó: $\Delta ADC = \Delta ABE(c.g.c) \Rightarrow CD = BE.$

b) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BE với CD, AC.

Ta có: $\widehat {ANE} + \widehat {AEN} = {90^0}(\Delta ANE$  vuông tại A).

Mà $\widehat {ANE} = \widehat {MNC}$   (đối đỉnh), $\widehat {AEN} = \widehat {MCN}(\Delta ADC = \Delta ABE)$

Suy ra $\widehat {MNC} + \widehat {MCN} = \widehat {ANE} + \widehat {AEN} = {90^0}.$

Tam giác CMN có: $\widehat {NMC} + \widehat {MNC} + \widehat {MCN} = {180^0}$

Do đó: $\widehat {NMC} = {180^0} - {90^0} = {90^0}.$   Vậy $CD \bot BE.$

Tam giác MBD vuông tại M $\Rightarrow B{D^2} = M{B^2} + M{D^2}$   (định lí Pythagore)

Tam giác MCE vuông tại M $\Rightarrow C{E^2} = M{C^2} + M{E^2}$   (định lí Pythagore)

Do đó: $B{D^2} + C{E^2} = M{B^2} + M{D^2} + M{C^2} + M{E^2}(1)$

Tam giác MBC vuông tại M $\Rightarrow B{C^2} = M{B^2} + M{C^2}$   (định lí Pythagore)

Tam giác MDE vuông tại M $\Rightarrow D{E^2} = M{D^2} + M{E^2}$   (định lí Pythagore)

Do đó: $B{C^2} + D{E^2} = M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} + M{E^2}(2)$

Tà (1) và (2) ta có: $B{D^2} + C{E^2} = B{C^2} + D{E^2}$

HocTot.XYZ