Bài 4 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3;{u_3} = \frac{{27}}{4}$.

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ${u_3} = {u_1}.{q^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{{27}}{4}} \right) = 3.{q^2} \Leftrightarrow q = \frac{3}{2}$ hoặc $q =  - \frac{3}{2}$.

TH1: $q =  \frac{3}{2}$.

Năm số hạng đầu của cấp số nhân: $3;\frac{9}{2};\frac{{27}}{4};\frac{{81}}{8};\frac{{243}}{{16}}$.

TH2: $q = - \frac{3}{2}$.

Năm số hạng đầu của cấp số nhân: $3; - \frac{9}{2};\frac{{27}}{4}; - \frac{{81}}{8};\frac{{243}}{{16}}$.

b) Tổng 10 số hạng đầu:

TH1: $q =  \frac{3}{2}$.

${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \frac{3}{2}}}$

$= \frac{{3.\frac{{ - 58025}}{{1024}}}}{{1 - \frac{3}{2}}} = \frac{{ - 174075}}{{1024}}.\left( { - 2} \right) = \frac{{174075}}{{512}}$.

TH2: $q = - \frac{3}{2}$.

${S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 3.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - \frac{3}{2}} \right)}} =  - \frac{{11605}}{{512}}$.