Bài 5.32 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là

$F\left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{GMr}}{{{R^3}}}\;,r < R}\\{\frac{{GM}}{{{r^2}}}\;,\;r \ge R}\end{array}} \right.$

Trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r).

Lời giải chi tiết

Vì M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn, do đó M, R, G đều khác 0, r là khoảng cách nên r > 0.

Ta có: $F\left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{GMr}}{{{R^3}}}\;,\;r < R}\\{\frac{{GM}}{{{r^2}}},r \ge R}\end{array}} \right.$

Tập xác định của hàm số $F\left( r \right) là \;\left( {0; + \infty } \right)$

+ Với r < R thì $F\left( r \right) = \frac{{GMr}}{{{R^3}}}$ hay $F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^3}}}.r$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên $\left( {0;R} \right)$

+ Với r > R thì $F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{r^2}}}$ là hàm phân thức nên nó liên tục trên $\left( {R; + \infty } \right)$

+ Tại r = R, ta có $F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}}$

$\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} \frac{{GM}}{{{r^2}}} = \frac{{GM}}{{{r^2}}};\;\;\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} \frac{{GMr}}{{{R^3}}} = \frac{{GMR}}{{{R^3}}} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}}$ nên $\mathop {\lim }\limits_{r \to R} F\left( r \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}} = F\left( r \right)$

Suy ra hàm số $F\left( r \right)$ liên tục tại r = R

Vậy hàm số liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$