Bài 7.11 trang 42 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA \( \bot \) (ABCD) và \(SA = a\sqrt 2 \).

a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Tính góc giữa BD và mặt phẳng (SAC).

c) Tìm hình chiếu của SB trên mặt phẳng (SAC).

Lời giải chi tiết

a) A là hình chiếu của S trên (ABCD) (vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)); C là hình chiếu của C trên (ABCD).

\( \Rightarrow \) AC là hình chiếu của SC trên (ABCD).

\( \Rightarrow \) \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1 \).

\(\Rightarrow \widehat {SCA} = {45^o}\).

Vậy \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^o}\).

b) Vì ABCD là hình vuông nên \(AC \bot BD\).

Mặt khác, \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\).

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot BD}\\{SA \bot BD}\\{AC \cap SA = \left\{ A \right\}}\end{array}} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Vậy \(\left( {BD,\left( {SAC} \right)} \right) = {90^o}\).

c) Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\), mà \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) (cmt).

\( \Rightarrow \) O là hình chiếu của B trên (SAC).

Mặt khác, S là hình chiếu của S trên (SAC).

\( \Rightarrow \) SO là hình chiếu của SB trên (SAC).