Đề số 13 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1 (4 điểm) Rút gọn biểu thức:

a) $A = \sqrt {45}  + \sqrt {20}  - 2\sqrt 5 .$

b) $B = \dfrac{{a + 2\sqrt a }}{{\sqrt a  + 2}} - \dfrac{{a - 4}}{{\sqrt a  - 2}}$ (với $a \ge 0,\;\;a \ne 4$).

Câu 2 (4 điểm)

a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 4\\2x - y = 5\end{array} \right..$

b) Cho hàm số $y = \dfrac{1}{2}{x^2}$ có đồ thị $\left( P \right)$ và đường thẳng $d:\;y = x - 2m.$ Vẽ đồ thị $\left( P \right).$ Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho $d$ cắt $\left( P \right)$ tại điểm có hoành độ bằng $- 1.$

Câu 3 (6 điểm) Cho phương trình ${x^2} + 4x + m + 1 = 0\,\,\,(1)$ (với m là tham số).

a) Giải phương trình (1) với m = 2.

b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{{{x_1} - 1}}{{2{x_2}}} - \dfrac{{{x_2} - 1}}{{2{x_1}}} =  - 3$.

Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AC (M khác A, C và điểm chính giữa AC), BM cắt AC tại H. Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB.

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK

c) Kẻ CP vuông góc với BM $\left( {P \in BM} \right)$ và trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh ME = 2CP

Lời giải chi tiết

Câu 1:

$\begin{array}{l}a)\;\;A = \sqrt {45}  + \sqrt {20}  - 2\sqrt 5 \\\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {{3^2}.5}  + \sqrt {{2^2}.5}  - 2\sqrt 5 \\\;\;\;\;\;\;\;\; = 3\sqrt 5  + 2\sqrt 5  - 2\sqrt 5 \\\;\;\;\;\;\;\;\; = 3\sqrt 5 .\\b)\;\;B = \dfrac{{a + 2\sqrt a }}{{\sqrt a  + 2}} - \dfrac{{a - 4}}{{\sqrt a  - 2}}\;\;\;\left( {a \ge 0,\;\;a \ne 4} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\, = \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 2} \right)}}{{\sqrt a  + 2}} - \dfrac{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}{{\sqrt a  - 2}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt a  - \left( {\sqrt a  + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt a  - \sqrt a  - 2\\\;\;\;\;\;\;\;\; =  - 2\end{array}$

Câu 2:

a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 4\\2x - y = 5\end{array} \right..$

$\left\{ \begin{array}{l}x - y = 4\\2x - y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = x - 4\end{array} \right.$$\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right..$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: $\left( {x;\;y} \right) = \left( {1; - 3} \right).$

b) Cho hàm số $y = \dfrac{1}{2}{x^2}$ có đồ thị $\left( P \right)$ và đường thẳng $d:\;y = x - 2m.$ Vẽ đồ thị $\left( P \right).$ Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho $d$ cắt $\left( P \right)$ tại điểm có hoành độ bằng $- 1.$

Ta có bảng giá trị:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = \dfrac{1}{2}{x^2}$	$2$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$2$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{2}{x^2}$ đi qua các điểm $\left( { - 2;2} \right);\,\,\left( { - 1;\dfrac{1}{2}} \right);\,\,\left( {0;0} \right);\,\,\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right);$$\,\,\left( {2;2} \right)$

Đồ thị:

 

Hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là nghiệm của phương trình $\dfrac{1}{2}{x^2} = x - 2m \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{x^2} - x + 2m = 0.\;\;\;\left( 1 \right)$  

Để $d$ cắt $\left( P \right)$ tại điểm có hoành độ bằng $- 1 \Leftrightarrow x =  - 1$ là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 2m = 0\\ \Leftrightarrow 2m =  - \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow m =  - \dfrac{3}{4}.\end{array}$  

Vậy $m =  - \dfrac{3}{4}.$

Câu 3.

a) Giải phương trình (1) với m = 2.

Thay $m = 2$ vào $(1)$: ${x^2} + 4x + 2 + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0$

Ta có : $a - b + c = 1 - 4 + 3 = 0$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm  $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} =  - 1\\{x_2} =  - 3\end{array} \right.$

Vậy, với $m = 2$ thì phương trình có hai nghiệm ${x_1} =  - 1,\,\,{x_2} =  - 3$.

b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.

$\Delta ' = {2^2} - (m + 1) = 4 - m - 1$$\,= 3 - m$

Để phương trình (1) có nghiệm thì $\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3$.

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{{{x_1} - 1}}{{2{x_2}}} - \dfrac{{{x_2} - 1}}{{2{x_1}}} =  - 3$.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3$

Áp dụng định lý Vi-et, ta có:  $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 4\\{x_1}{x_2} = m + 1\,\,\left( * \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow {x_2} =  - 4 - {x_1}$ . Thay vào $\dfrac{{{x_1} - 1}}{{2{x_2}}} - \dfrac{{{x_2} - 1}}{{2{x_1}}} =  - 3$, ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{{x_1} - 1}}{{2\left( { - 4 - {x_1}} \right)}} - \dfrac{{ - 4 - {x_1} - 1}}{{2{x_1}}} =  - 3,\,\,\left( {{x_1} \ne 0,\,\,{x_1} \ne 4} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} - 1}}{{2( - 4 - {x_1})}} - \dfrac{{ - 5 - {x_1}}}{{2{x_1}}} =  - 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1}\left( {{x_1} - 1} \right) - \left( { - 4 - {x_1}} \right)\left( { - 5 - {x_1}} \right)}}{{2{x_1}( - 4 - {x_1})}} =  - 3\\ \Leftrightarrow {x_1}\left( {{x_1} - 1} \right) - \left( {4 + {x_1}} \right)\left( {5 + {x_1}} \right) =  - 3.2{x_1}( - 4 - {x_1})\\ \Leftrightarrow x_1^2 - {x_1} - 20 - 4{x_1} - 5{x_1} - x_1^2 - 24{x_1} - 6x_1^2 = 0\\ \Leftrightarrow  - 6x_1^2 - 34{x_1} - 20 = 0\\ \Leftrightarrow 3x_1^2 + 17{x_1} + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 3x_1^2 + 15{x_1} + 2{x_1} + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x_1}\left( {{x_1} + 5} \right) + 2\left( {{x_1} + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 5} \right)\left( {3{x_1} + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} =  - 5\\{x_1} =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}$

Với ${x_1} =  - 5$ $\Rightarrow {x_2} =  - 4 - {x_1} =  - 4 + 5 = 1$

Thay vào (*) ta có $- 5 = m + 1 \Leftrightarrow m =  - 6\,\,\left( {tm} \right)$

Với ${x_1} =  - \dfrac{2}{3} \Rightarrow {x_2} =  - 4 - {x_1} =  - \dfrac{{10}}{3}$

 Thay vào (*) ta có $\dfrac{{20}}{9} = m + 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{{11}}{9}\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy $m =  - 6$ hoặc $m = \dfrac{{11}}{9}$.

Câu 4.

 

a) Chứng minh tứ giác CHKB là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BCHK có:

$\widehat {HCB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat {HKB} = {90^0}$ (giả thiết)

$\Rightarrow \widehat {HCB} + \widehat {HKB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$.

Vậy tứ giác $CHKB$ là tứ giác nội tiếp (đpcm).

b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK.

- Tứ giác BCHK nội tiếp nên $\widehat {ACK} = \widehat {MBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $HK$).

- $\widehat {MCA} = \widehat {MBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MA của đường tròn tâm (O)).

Do đó $\widehat {ACK} = \widehat {MBA} = \widehat {MCA}$ hay $CA$ là tia phân giác của $\widehat {MCK}$ (đpcm).

c) Chứng minh ME = 2CP.

Xét $\Delta CMA$ và $\Delta CEB$ có:

$MA = EB\left( {gt} \right)$

$\widehat {MAC} = \widehat {EBC}$ (cùng chắn cung MC của đường tròn (O))

$CA = CB$ ($\Delta CAB$ vuông cân)

Do đó $\Delta CMA = \Delta CEB\left( {c.g.c} \right)$

$\Rightarrow CM = CE$ (cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta CME$ cân tại $C$.

Lại có $\widehat {CMB} = \widehat {CAB} = {45^0}$ (cùng chắn cung $CB$) nên $\widehat {CEM} = {45^0} \Rightarrow \widehat {MCE} = {90^0}$.

Vậy $\Delta CME$ vuông cân tại $C$.

Mà $CP \bot ME\,\,\left( {gt} \right)$ nên $CP$ là đường cao và cũng là đường trung tuyến của $\Delta CME$.

Do đó $PM = PE = CP \Rightarrow ME = 2CP$ (đpcm).

HocTot.XYZ