Giải bài 10 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB.

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho HocTot.XYZ và nhận về những phần quà hấp dẫn

Đề bài

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng MD+ME+MF=32MO.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, BC.

Bước 2: Xác định các tam giác đều, hình bình hành sau đó áp dụng vào biểu thức vectơ, trong tam giác đều thì đường cao vừa là trung tuyến, quy tắc hình bình hành AB+AD=AC (với ABCD là hình bình hành).

Bước 3: Sử dụng quy tắc ba điểm AB=AO+OB, tính chất trọng tâm của tam giác GA+GB+GC=0 (với G là trọng tâm của tam giác ABC).

Lời giải chi tiết

MD+ME+MF=(MO+OD)+(MO+OE)+(MO+OF) (quy tắc ba điểm).

Qua M kẻ các đường thẳng M1M2//AB;M3M4//AC;M5M6//BC.

Từ đó ta có: ^MM1M6=^MM6M1=^MM4M2=^MM2M4=^MM3M5=^MM5M3=60 (góc so le trong với các góc của tam giác đều).

Suy ra các tam giác ΔMM3M5,ΔMM1M6,ΔMM2M4 đều.

Do đó MD, ME, MF là các đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của các tam giác đều trên.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến, ta có:

ME=12(MM1+MM6);MD=12(MM2+MM4);MF=12(MM3+MM5)

MD+ME+MF=12(MM2+MM4)+12(MM1+MM6)+12(MM3+MM5)

=12(MM1+MM3)+12(MM2+MM5)+12(MM4+MM6) (hoán vị)

=12MA+12MB+12MC  (quy tắc hình bình hành, dễ dàng chứng minh các tứ giác AM3MM1;CM4MM6;BM2MM5 là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song).

=12(MA+MB+MC)

=12((MO+OA)+(MO+OB)+(MO+OC)) (quy tắc ba điểm)

=12(3MO+(OA+OB+OC))

=32(MO+0) (tính chất trọng tâm)

Vậy MD+ME+MF=32MO.

PH/HS Tham Gia Nhóm Lớp 10 Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10

close