Giải bài 2.6 trang 23 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - 1}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$

b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{y > 0}\\{x - y - 4 < 0}\end{array}} \right.$

c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \le 3}\\{x \le 3}\\{x \ge  - 1}\\{y \ge  - 2}\end{array}} \right.$

Lời giải chi tiết

a)      $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - 1}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x \ge  - 1$ là nửa mặt phẳng bờ $d:x =  - 1$ chứa điểm $O\left( {0;0} \right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Ox$ chứa điểm $\left( {0;4} \right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình$x + y \le 4.$

Vẽ đường thẳng ${d_2}:x + y = 4$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

Chọn $O\left( {0;0} \right)$ là điểm không thuộc đường thẳng ${d_2}$ và thay vào biểu thức $x + y,$ ta được $0 + 0 = 0 < 4.$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình ${d_2}:x + y = 4$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}$ và chứa điểm $O\left( {0;0} \right).$

 

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là: $\Delta ABC$ với $A\left( { - 1;0} \right),\,\,B\left( {4;0} \right),\,\,C\left( { - 1;5} \right).$

b)     $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{y > 0}\\{x - y - 4 < 0}\end{array}} \right.$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x > 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Oy$ chứa điểm $\left( {1;0} \right)$ mà bỏ đi trục $Oy.$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y > 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Ox$ chứa điểm $\left( {0;1} \right)$ mà bỏ đi trục $Ox.$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x - y - 4 < 0$.

Vẽ đường thẳng ${d_2}:x - y - 4 = 0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

Chọn $O\left( {0;0} \right)$ không thuộc đường thẳng ${d_2}$ và thay vào biểu thức $x - y - 4,$ ta được $0 - 0 - 4 =  - 4 < 0.$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x - y - 4 < 0$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}$ chứa điểm $O\left( {0;0} \right)$ không kể ${d_2}$.

 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là phần không có gạch.

c)      $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \le 3}\\{x \le 3}\\{x \ge  - 1}\\{y \ge  - 2}\end{array}} \right.$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y \le 3$ là nửa mặt phẳng bờ $d:y = 3$ chứa điểm $O\left( {0;0} \right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x \le 3$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_1}:x = 3$ chứa điểm $O\left( {0;0} \right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x \ge  - 1$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_3}:x =  - 1$ chứa điểm $O\left( {0;0} \right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y \ge  - 2$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_4}:y =  - 2$ chứa điểm $O\left( {0;0} \right).$

 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là: hình chữ nhật $ABCD$ với $A\left( { - 1;3} \right),\,\,B\left( { - 1; - 2} \right),\,\,C\left( {3; - 2} \right),\,\,D\left( {3;3} \right).$