Giải bài 2.8 trang 23 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $F\left( {x;y} \right) = 4x - 3y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \ge  - 4}\\{x + y \le 5}\\{x - y \le 5}\\{x - y \ge  - 4}\end{array}.} \right.$

Lời giải chi tiết

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x + y \ge  - 4$ là nửa mặt phẳng bờ $d:x + y =  - 4$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 5$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_1}:x + y = 5$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x - y \le 5$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}:x - y = 5$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x - y \ge  - 4$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_3}:x - y =  - 4$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là: hình vuông $ABCD$ với $A\left( { - 4;0} \right),$$B\left( {\frac{1}{2};\frac{9}{2}} \right),$ $C\left( {5;0} \right),\,\,D\left( {\frac{1}{2};\frac{{ - 9}}{2}} \right).$

Ta có: $F\left( { - 4;0} \right) = 4\left( { - 4} \right) - 3.0 =  - 16,\,\,F\left( {\frac{1}{2};\frac{9}{2}} \right) = 4.\frac{1}{2} - 3.\frac{9}{2} = \frac{{ - 23}}{2},$

$F\left( {5;0} \right) = 4.5 - 3.0 = 20,\,\,F\left( {\frac{1}{2};\frac{{ - 9}}{2}} \right) = 4.\frac{1}{2} - 3.\left( {\frac{{ - 9}}{2}} \right) = \frac{{31}}{2}.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là: $F\left( {5;0} \right) = 20,$ giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: $F\left( { - 4;0} \right) =  - 16.$