Giải bài 33 trang 59 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 4 + t\\z = 5 - 2t\end{array} \right.$ ($t$ là tham số).

a) Tìm toạ độ của điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta$, biết $M$ có hoành độ bằng 5.

b) Chứng minh rằng điểm $N\left( {8;2;9} \right)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.

c) Chứng minh rằng điểm $P\left( { - 1;5;4} \right)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta '$, biết $\Delta '$ đi qua $P$ và song song với $\Delta$.

d) Tìm toạ độ của điểm $I$, biết $I$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z + 9 = 0$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $M$ thuộc đường thẳng $\Delta$ nên $M\left( {2 - 3t;4 + t;5 - 2t} \right)\left( {t \in R} \right)$.

Ta có: $2--3t = 5$, suy ra $t =  - 1$. Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{y_M} = 4 + t = 4 + \left( { - 1} \right) = 3\\{z_M} = 5 - 2t = 5 - 2.\left( { - 1} \right) = 7\end{array} \right.$.

Vậy $M\left( {5;3;7} \right)$.

b) Xét hệ: $\left\{ \begin{array}{l}8 = 2 - 3t\\2 = 4 + t\\9 = 5 - 2t\end{array} \right.$. Suy ra $t =  - 2$. Do đó tồn tại số thực $t$ thoả mãn hệ phương trình. Vậy điểm $N\left( {8;2;9} \right)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.

c) Xét hệ: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 2 - 3t\\5 = 4 + t\\4 = 5 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.$. Do đó không tồn tại số thực $t$ thoả mãn hệ phương trình. Vậy điểm $P\left( { - 1;5;4} \right)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$.

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( { - 3;1; - 2} \right)$.

Đường thẳng $\Delta '$ song song với $\Delta$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( { - 3;1; - 2} \right)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta '$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 3t'\\y = 5 + t'\\z = 4 - 2t'\end{array} \right.$ ($t'$ là tham số).

d) Điểm $I$ nằm trên đường thẳng $\Delta$ nên $I\left( {2 - 3t;4 + t;5 - 2t} \right)$.

$I \in \left( P \right)$ nên ta có: $\left( {2 - 3t} \right) - \left( {4 + t} \right) + \left( {5 - 2t} \right) + 9 = 0$. Suy ra $t = 2$.

Vậy $I\left( { - 4;6;1} \right)$.