Giải bài 4.13 trang 58 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0$.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .$

Lời giải chi tiết

a)

Cách 1:

Ta có: $\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0$.

$\Leftrightarrow \overrightarrow {KA}  =  - 2\overrightarrow {KB}$

Suy ra vecto $\overrightarrow {KA}$ và vecto$\;\overrightarrow {KB}$ cùng phương, ngược chiều và $KA = 2.KB$

$\Rightarrow K,A,B$thẳng hàng, K nằm giữa A và B thỏa mãn: $KA = 2.KB$

Cách 2:

Ta có: $\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {BA} } \right) + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3.\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3.\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {KB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \end{array}$

Vậy K thuộc đoạn AB sao cho $KB = \frac{1}{3}AB$.

b)

Với O bất kì, ta có:

$\frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KA} } \right) + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KB} } \right) = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {OK}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OK} } \right) + \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {KA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {KB} } \right) = \overrightarrow {OK}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB} } \right) = \overrightarrow {OK}$

Vì $\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0$

Vậy với mọi điểm O, ta có $\overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .$