Giải bài 48 trang 79 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$ $\left( {AC > BD} \right)$. Từ $C$ kẻ $CE$ vuông góc với $AB$ ($E$ thuộc đường thẳng $AB$), $CF$ vuông góc với $AD$ ($F$ thuộc đường thẳng $AD$). Chứng minh: $AB.AE + AD.AF = A{C^2}$.

Lời giải chi tiết

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $D,B$ trên đường thẳng $AC$.

Ta có $\Delta AHD\backsim \Delta AFC=>\frac{AD}{AC}=\frac{AH}{AF}$ hay $AD.AF = AC.AH$ (1)

Tương tự $\Delta AKB\backsim \Delta AEC=>\frac{AB}{AC}=\frac{AK}{AE}$ hay $AB.AE = AC.AK$ (2).

Vì $\Delta ABK\backsim \Delta CDH$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên $AK = HC$

Từ đó, cộng (1) và (2) theo vế ta được:

$AD.AF + AB.AE = AC.\left( {AH + AK} \right) = AC\left( {AH + HC} \right) = A{C^2}$.