Giải bài 6.12 trang 12 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{1}{{{x^3} - 8}}$ và $\frac{3}{{4 - 2{\rm{x}}}}$

b) $\frac{x}{{{x^2} - 1}}$ và $\frac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ${x^3} - 8 = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)$

$4 - 2{\rm{x}} = 2\left( {2 - x} \right) =  - 2\left( {x - 2} \right)$

Mẫu thức chung là: $- 2\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)$

Nhân tử phụ của ${x^3} - 8$ là -2

Nhân tử phụ của 4 – 2x là ${x^2} + 2{\rm{x}} + 4$

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{{{x^3} - 8}} = \frac{{ - 2}}{{ - 2\left( {{x^3} - 8} \right)}}\\\frac{3}{{4 - 2{\rm{x}}}} = \frac{{3\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)}}{{\left( {4 - 2{\rm{x}}} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)}} = \frac{{3\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)}}{{ - 2\left( {{x^3} - 8} \right)}}\end{array}$

b) Ta có: $\begin{array}{l}{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\\{x^2} + 2{\rm{x}} + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array}$

Mẫu thức chung là: ${\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right)$

Nhân tử phụ của $\frac{x}{{{x^2} - 1}}$ là: x + 1

Nhân tử phụ của $\frac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}$ là x – 1

Khi đó:

$\frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}$

$\frac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}} = \frac{{x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}$