Giải bài 6.60 trang 26 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để:

a)      Hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} - 2mx + 5} }}$ có tập xác định $\mathbb{R}$

b)      Tam thức bậc hai $y =  - {x^2} + mx - 1$ có dấu không phụ thuộc vào x

c)      Hàm số $y = \sqrt { - 2{x^2} + mx - m - 6}$ có tập xác định chỉ gồm một phần tử

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} - 2mx + 5} }}$

+) Với m = 0 thì hàm số có dạng $y = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. Do đó m = 0 thỏa mãn
+) Với m ≠ 0, hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} - 2mx + 5} }}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m{x^2} - 2m{\rm{x}} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ 

Ta có: $m{x^2} - 2m{\rm{x}} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow m > 0$ và $\Delta ' = {m^2} - 5m < 0$ $\Leftrightarrow m > 0$ và $0 < m < 5$ $\Leftrightarrow 0 < m < 5$

Kết hợp các điều kiện, với $m \in {\rm{[}}0;5)$ thì hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} - 2mx + 5} }}$ có tập xác định $\mathbb{R}$

b) Tam thức bậc hai $y =  - {x^2} + mx - 1$ có a = -1 < 0

Khi đó$y =  - {x^2} + mx - 1$ có dấu không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi $y =  - {x^2} + mx - 1$ < 0 $\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow$$\Delta  = {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2$

Vậy với $m \in ( - 2;2)$ thì Tam thức bậc hai $y =  - {x^2} + mx - 1$ có dấu không phụ thuộc vào x

c) Hàm số  $y = \sqrt { - 2{x^2} + mx - m - 6}$có tập xác định chỉ gồm một phần tử khi và chỉ khi

$- 2{x^2} + mx - m - 6 = 0$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta  = {m^2} - 8(m + 6) = 0$

 $\Leftrightarrow {m^2} - 8m - 48 = 0 \Leftrightarrow m =  - 4$hoặc m = 12

Vậy với $m \in {\rm{\{ }} - 4;12{\rm{\} }}$ thì Hàm số  $y = \sqrt { - 2{x^2} + mx - m - 6}$có tập xác định chỉ gồm một phần tử .