Giải bài 7 trang 76 SGK Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Kẻ $HM$ vuông góc với $AB$ tại $M$.

a) Chứng minh rằng $\Delta AMH\backsim\Delta AHB$.

b) Kẻ $HN$ vuông góc với $AC$ tại $N$. Chứng minh rằng $AM.AB = AN.AC$.

c) Chứng minh rằng $\Delta ANM\backsim\Delta ABC$.

d) Cho biết $AB = 9cm,AC = 12cm.$ Tính diện tích tam giác $AMN$.

Lời giải chi tiết

a) Xét $\Delta AMH$ và $\Delta AHB$ có:

$\widehat {HAM}$ chung (do $\widehat {HAM}$ cũng là $\widehat {HAB}$)

$\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ$ (do $HM \bot AB$ và $AH$ là đường cao)

Do đó, $\Delta AMH\backsim\Delta AHB$ (g.g).

b) Vì $\Delta AMH\backsim\Delta AHB$ nên $\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra $AM.AB = A{H^2}$ (1)

- Xét $\Delta ANH$ và $\Delta AHC$ có:

$\widehat {HAN}$ chung (do $\widehat {HAN}$ cũng là $\widehat {HAC}$)

$\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ (do $HN \bot AC$ và $AH$ là đường cao)

Do đó, $\Delta ANH\backsim\Delta AHC$ (g.g).

Vì $\Delta ANH\backsim\Delta AHC$ nên $\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra $AN.AC = A{H^2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra, $AM.AB = AN.AC$(điều phải chứng minh).

c) Từ câu b ta có:

$AM.AB = AN.AC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}$ (tỉ lệ thức)

Xét $\Delta ANM$và $\Delta ABC$ ta có:

$\widehat A$ chung

$\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta ANM\backsim\Delta ABC$(c.g.c)

d) Áp dụng định lí Py- ta – go cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225 \Rightarrow BC = 15cm$

Diện tích tam giác $ABC$ là: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC$

$\Rightarrow AH.BC = AB.AC$

$\Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{9.12}}{{15}} = 7,2cm$.

Ta có: $A{H^2} = AM.AB = AM.9 = 7,{2^2} \Rightarrow AM = \frac{{7,{2^2}}}{9} = 5,76cm$

$A{H^2} = AN.AC = AN.12 = 7,{2^2} \Rightarrow AN = \frac{{7,{2^2}}}{{12}}4,32cm$.

Diện tích tam giác vuông $AMN$ là:

${S_{AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN = \frac{1}{2}.5,76.4,32 = 12,4416c{m^2}$.

Vậy diện tích tam giác $AMN$ là 12,4416cm².