Giải Bài 9.24 trang 60 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác đều ABC. Lấy điểm N nằm khác phía với M đối với đường thẳng AC sao cho $\widehat {CAN} = \widehat {BAM}$ và AN = AM.

Chứng minh:

a) Tam giác AMN là tam giác đều

b) $\Delta MAB = \Delta NAC$

c) MN = MA, NC = MB

Lời giải chi tiết

a)

Tam giác ABC là tam giác đều nên: $\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\widehat {MAN} = \widehat {MAC} + \widehat {CAN} = \widehat {MAC} + \widehat {BAM}\left( {do\,\,\widehat {CAN} = \widehat {BAM}} \right)\\ \Rightarrow \widehat {MAN} = \widehat {BAC} = {60^0}\end{array}$

Xét tam giác AMN có: AM = AN (gt)

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại A

Mà $\widehat {MAN} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều.

b)

Xét $\Delta MAB$ và $\Delta NAC$ có:

AB = AC (gt)

AM = AN (gt)

$\widehat {MAB} = \widehat {NAC}$(gt)

$\Rightarrow$$\Delta MAB$= $\Delta NAC$ (c – g – c)

c)

Tam giác AMN đều (cm ý a)

$\Rightarrow$MN = MA

$\Delta MAB$= $\Delta NAC$ (cm ý b)

$\Rightarrow MB = NC$(cạnh tương ứng)