Giải Bài 9.26 trang 60 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi Ax, By là hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và tại B. Một đường thẳng qua C cắt Ax tại M, cắt By tại P. Điểm N nằm trên tia đối của tia BP sao cho góc MCN là góc vuông. Gọi H là hình chiếu của C trên MN.

Chứng minh:

a)AM + BN = MN;

b) CM là đường trung trực của AH, CN là đường trung trực của BH;

c) Góc AHB là góc vuông.

Lời giải chi tiết

a)

-Chứng minh AM = MH

Xét $\Delta AMC$ và $\Delta BPC$ có:

AC = CB (gt)

$\widehat {MAC} = \widehat {PBC} = {90^0}$

$\widehat {ACM} = \widehat {BCP}$(đối đỉnh)

$\Rightarrow$$\Delta AMC$ = $\Delta BPC$(g – c – g)

$\Rightarrow$ MC = CP (cạnh tương ứng)

Mà $NC \bot MP$

$\Rightarrow$NC là đường trung trực của MP

$\Rightarrow$Tam giác NMP cân tại N

$\Rightarrow$$\widehat {{P_1}} = \widehat {{M_2}}$

Mà $\widehat {{P_1}} = \widehat {{M_1}}$(so le trong: Mx // By)

$\Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}$

Xét $\Delta AMC$ và $\Delta HMC$ có:

$\begin{array}{l}\widehat {MAC} = \widehat {MHC} = {90^0}\\MC:chung\\\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AMC = \Delta HMC\left( {ch - gn} \right)\\ \Rightarrow AM = MH\left( {ctu} \right)\end{array}$

-Chứng minh:NB = NH

Tam giác MNP cân tại N có NC là đường trung trực đồng thời là đường phân giác xuất phát từ N.

Xét $\Delta HNC$ và $\Delta BNC$ có:

CN: chung

$\begin{array}{l}\widehat {{N_1}} = \widehat {{N_2}}\left( {cmt} \right)\\\widehat {CHN} = \widehat {CBN} = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta CHN = \Delta CBN\left( {ch - gn} \right)\end{array}$
$\Rightarrow NH = NB$(cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AM + BN = MH + HN = MN$

b)

Tam giác MAH cân tại M với MC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân M

$\Rightarrow$MC là đồng thời là đường trung trực của AH

Tam giác NBH cân tại N với NC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân N

$\Rightarrow$NC đồng thời là đường trung trực của BH.

c)

Xét tam giác HAB có CA = CB

$\Rightarrow$HC là đường trung tuyến

$\Delta AMC = \Delta HMC$(cmt) $\Rightarrow AC = HC$(cạnh tương ứng)

$\Rightarrow HC = CA = CB$

Đường trung tuyến ứng với cạnh AB và bằng nửa cạnh AB.

Vậy tam giác HAB vuông tại H.