Giải bài tập 14 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;-3), B(0;-4;5) và C(-1;2;0).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thằng hàng

b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tính chu vi của tam giác ABC

e) Tính $\cos \widehat {BAC}$

Lời giải chi tiết

a) $\overrightarrow {AB}  = ( - 2; - 4;8)$; $\overrightarrow {AC}  = ( - 3;2;3)$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  \ne k\overrightarrow {AC}$ => A, B, C không thẳng hàng

b) Để ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}$

Gọi D(a;b;c) => $\overrightarrow {DC}  = ( - 1 - a;2 - b; - c)$

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow ( - 2;-4;8) = ( - 1 - a;2 - b; - c) \Leftrightarrow a = 2;b = 0;c =  - 3 \Rightarrow D(1;6; - 8)$

c) $G(\frac{1}{3};\frac{{ - 2}}{3};\frac{2}{3})$

d) $\overrightarrow {BC}  = ( - 1;6; - 5) \Rightarrow BC = \sqrt {62}$

$\overrightarrow {AB}  = ( - 2; - 4;8) \Rightarrow AB = 2\sqrt {21}$

$\overrightarrow {AC}  = ( - 3;2;3) \Rightarrow AC = \sqrt {22}$

Chu vi của tam giác ABC là: AB + AC + BC = $2\sqrt {21}$+$\sqrt {22}$+$\sqrt {62}$

e) $\cos \widehat {BAC}  = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{ - 2.( - 3) - 4.2 + 8.3}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 4)}^2} + {8^2}} .\sqrt {{{( - 3)}^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {462} }}{{42}}$