Giải bài tập 3 trang 63 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

 

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’  có cạnh bằng a. Tính:

a) \(\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {D'C'} \); \(\overrightarrow {D'A} .\overrightarrow {BC} \);

b) Các góc \(\left( {\overrightarrow {A'D} , \overrightarrow {B'C'} } \right)\); \(\left( {\overrightarrow {AD',} \overrightarrow {BD} } \right)\).

Lời giải chi tiết

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên độ dài đường chéo mỗi mặt bằng \(a\sqrt 2 \); góc giữa một cạnh và đường chéo của mặt phẳng chứa cạnh đó bằng \({45^o}\).

a) \(\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {D'C'}  = \overrightarrow {D'C} .\overrightarrow {D'C'}  = D'C.D'C'.\cos \left( {\overrightarrow {D'C} ,\overrightarrow {D'C'} } \right)\)

\( = D'C.D'C'.\cos \widehat {CD'C'} = a\sqrt 2 .a.\cos {45^o} = {a^2}\).

\(\overrightarrow {D'A} .\overrightarrow {BC}  =  - \overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {BC}  =  - \overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {AD}  =  - AD'.AD.\cos \left( {\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = AD'.AD.\cos \left( {\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {AD} } \right) =  - a\sqrt 2 .a.\cos {45^o} =  - {a^2}\).

b) \(\left( {\overrightarrow {A'D} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {A'D} ,\overrightarrow {A'D'} } \right)\)

\(= \left( {\overrightarrow {A'D} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \widehat {DA'D'} = {45^o}\).

Xét tam giác C’BD có BC’ = BD = C’D nên tam giác C’BD đều, suy ra \(\widehat {C'BD} = {60^o}\).

\(\left( {\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {C'BD} = {60^o}\).