Giải câu hỏi mở đầu trang 25 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình v (km/h) theo công thức:

\(C(v) = \frac{{16000}}{v} + \frac{5}{2}v\) \(\left( {0 < v \le 120} \right)\)

Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của C(v) theo v, người ta đã vẽ đồ thị hàm số C = C(v) như hình bên. Làm thế nào để vẽ được đồ thị hàm số này?

Lời giải chi tiết

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số C = C(v):

– Tập xác định: D = (0; 120].

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(C'(v) =  - \frac{{16000}}{{{v^2}}} + \frac{5}{2} = \frac{{5(v - 80)(v + 80)}}{{2{v^2}}}\);

\(C'(v) = 0 \Leftrightarrow \) v = -80 (loại) hoặc v = 80.

Trên khoảng (0;80), C’(v) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Trên khoảng (80;120), C’(v) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại v = 80, \({C_{CT}} = C(80) = 400\).

+ Giới hạn vô cực và tiệm cận:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} C(v) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{16000}}{v} + \frac{5}{2}v} \right) =  + \infty \) nên đường thẳng v = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

 

- Đồ thị: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (80; 400) và đi qua các điểm (40; 500), (100; 410), \(\left( {120;\frac{{1300}}{3}} \right)\).